ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

В правильной четырёхугольной призме основание — квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

а) Стороны ромба равны, поэтому $M{B}_1=MD$.

Рассмотрим треугольники $M{A}_1{B}_1$ и $MAD$. Ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому $A{A}_1\perp A_1{B}_1$ и $A{A}_1\perp AD$: оба треугольника прямоугольные с прямыми углами $A_1$ и $A$. Их гипотенузы равны: $M{B}_1=MD$. Катеты $A_1{B}_1$ и $AD$ равны как стороны равных квадратов-оснований.

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету, поэтому $M{A}_1=MA$, то есть $M$ — середина ребра $A{A}_1$, что и требовалось доказать.

б) Пусть сторона основания $AB=a$, высота призмы $h$.

Так же, как в пункте а), из $K{B}_1=KD$ и равенства прямоугольных треугольников $K{C}_1{B}_1$ и $KCD$ (по гипотенузе и катету $C_1{B}_1=CD$) получаем $K{C}_1=KC$, то есть $K$ — середина $C{C}_1$.

Отрезки $AM$ и $CK$ равны (каждый равен $\frac{h}{2}$) и параллельны (оба лежат на боковых рёбрах, параллельных друг другу). Значит, $AMKC$ — параллелограмм и $MK=AC$.

Площадь квадрата $ABCD$ равна $a^2=3$, поэтому $a=\sqrt{3}$. Диагонали квадрата равны:

$$AC=BD=a\sqrt{2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6},MK=\sqrt{6}.$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей $MK$ и $B_{1}D$:

$$\frac{1}{2}\cdot MK\cdot B_{1}D=6\iff \frac{1}{2}\cdot \sqrt{6}\cdot B_{1}D=6\iff B_{1}D=\frac{12}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}.$$

Ребро $B{B}_1$ перпендикулярно основанию, поэтому треугольник $B_{1}BD$ прямоугольный с прямым углом $B$. По теореме Пифагора

$$B{B}_1=\sqrt{B_1{D}^2-B{D}^2}=\sqrt{24-6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Ответ: б) $3\sqrt{2}$.