В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 3… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Параллелепипеды средняя 2024 развёрнутое

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ основание $A B C D$ является прямоугольником со сторонами 3 и 4, диагонали которого пересекаются в точке $O .$ Плоскость, содержащая диагональ $A C$ и параллельная прямой $B_{1} D,$ пересекает ребро $B B_{1}$ в точке $K .$ Угол между плоскостями $(A B C)$ и $(A C K)$ равен $4 5^{\circ} .$

a) Докажите, что угол $K O B$ меньше $4 5^{\circ} .$

б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому $B B_{1} ⊥ (A B C)$ . Пусть $A B = 3$ , $B C = 4$ .

а) Проведём в плоскости основания перпендикуляр $B H$ к диагонали $A C$ , $H \in A C$ . Отрезок $K B$ перпендикулярен плоскости $A B C$ , поэтому $B H$ — проекция наклонной $K H$ на эту плоскость. Так как $B H ⊥ A C$ , по теореме о трёх перпендикулярах $K H ⊥ A C$ .

Получили $B H ⊥ A C$ и $K H ⊥ A C$ , значит, $∠ K H B$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $A C K$ и $A B C$ с ребром $A C$ . Треугольник $K B H$ прямоугольный с прямым углом $B$ , поэтому угол $K H B$ острый и равен углу между плоскостями: $∠ K H B = 4 5^{\circ}$ .

Сравним $B H$ и $B O$ . Если бы точка $H$ совпала с $O$ , диагонали прямоугольника были бы перпендикулярны, а прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — квадрат. У нас стороны 3 и 4, поэтому $H \neq = O$ . Тогда $B H$ — перпендикуляр, а $B O$ — наклонная, проведённые из точки $B$ к прямой $A C$ , и перпендикуляр короче наклонной: $B H < B O$ .

Так как $K B ⊥ (A B C)$ , прямая $K B$ перпендикулярна прямым $B O$ и $B H$ этой плоскости, и треугольники $K B O$ и $K B H$ прямоугольные с прямым углом $B$ . По определению тангенса

$tg ∠ K O B = \frac{K B}{B O}, tg ∠ K H B = \frac{K B}{B H} .$

Из $B O > B H$ следует

$tg ∠ K O B = \frac{K B}{B O} < \frac{K B}{B H} = tg 4 5^{\circ} = 1.$

Оба угла острые, а на промежутке $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ тангенс возрастает, поэтому $∠ K O B < 4 5^{\circ}$ , что и требовалось доказать.

б) Сначала выясним, где лежит точка $K$ . Плоскость $B B_{1} D$ содержит прямую $B_{1} D$ и точку $O \in B D$ . Она пересекает плоскость $A C K$ по прямой $O K$ (обе точки $O$ и $K$ лежат в обеих плоскостях). Плоскость $B B_{1} D$ проходит через прямую $B_{1} D$ , параллельную плоскости $A C K$ , поэтому линия пересечения параллельна $B_{1} D$ : $O K ∥ B_{1} D$ .

В треугольнике $B B_{1} D$ точка $O$ — середина $B D$ (диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам), а $O K ∥ D B_{1}$ . По теореме Фалеса $K$ — середина $B B_{1}$ , то есть $B B_{1} = 2 B K$ .

По теореме Пифагора в треугольнике $A B C$ :

$A C = A B^{2} + B C^{2} = 9 + 16 = 5.$

Высоту $B H$ прямоугольного треугольника $A B C$ найдём, записав его площадь двумя способами: $\frac{1}{2} A B \cdot B C = \frac{1}{2} A C \cdot B H$ , откуда

$B H = \frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} .$

Прямоугольный треугольник $K B H$ имеет острый угол $4 5^{\circ}$ , значит, он равнобедренный: $B K = B H = \frac{12}{5}$ . Тогда

$B B_{1} = 2 B K = \frac{24}{5} .$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$V = A B \cdot B C \cdot B B_{1} = 3 \cdot 4 \cdot \frac{24}{5} = \frac{288}{5} .$

Ответ: б) $\frac{288}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15