ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

Пусть сторона основания пирамиды равна $a$, а высота $SO=h$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$.

а) Точки $Q$ и $P$ — середины противоположных сторон $AD$ и $BC$ квадрата. Отрезки $QD$ и $PC$ равны $\frac{a}{2}$ и параллельны, поэтому $QPCD$ — прямоугольник. Значит, $PQ\parallel CD$ и $PQ=CD=a$.

Прямая $PQ$ параллельна прямой $CD$, лежащей в плоскости $SCD$, и сама в этой плоскости не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $PQ\parallel (SCD)$.

Секущая плоскость $MPQ$ проходит через прямую $PQ$, параллельную плоскости $SCD$, и имеет с плоскостью $SCD$ общую точку $M$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Поэтому плоскость $MPQ$ пересекает грань $SCD$ по прямой, проходящей через $M$ параллельно $PQ$, то есть параллельно $CD$. Пусть она пересекает ребро $SC$ в точке $N$, тогда $MN\parallel CD$.

Итак, секущая плоскость пересекает основание по отрезку $PQ$, грань $SAD$ — по отрезку $QM$, грань $SCD$ — по отрезку $MN$, грань $SBC$ — по отрезку $NP$. Сечение — четырёхугольник $PQMN$.

В треугольнике $SCD$ прямая $MN$ параллельна стороне $CD$. По теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{SN}{NC}=\frac{SM}{MD}=\frac{2}{1}.$$

Треугольники $SMN$ и $SDC$ подобны (угол $S$ общий, $MN\parallel DC$) с коэффициентом $\frac{SM}{SD}=\frac{2}{3}$, поэтому

$$MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}a.$$

В четырёхугольнике $PQMN$ стороны $MN$ и $PQ$ параллельны (обе параллельны $CD$) и не равны: $\frac{2}{3}a\ne a$. Две другие стороны не параллельны, иначе $PQMN$ был бы параллелограммом и $MN=PQ$. Значит, $PQMN$ — трапеция с основаниями $PQ$ и $MN$.

Докажем, что боковые стороны $QM$ и $PN$ равны. Рассмотрим треугольники $QDM$ и $PCN$:

• $QD=PC=\frac{a}{2}$;
• $DM=\frac{1}{3}SD$, $CN=\frac{1}{3}SC$, а боковые рёбра правильной пирамиды равны, поэтому $DM=CN$;
• боковые грани $SAD$ и $SBC$ правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, поэтому их углы при основании равны: $\angle QDM=\angle SDA=\angle SCB=\angle PCN$.

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $QM=PN$. Трапеция $PQMN$ равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Плоскость сечения делит пирамиду на два многогранника. Найдём объём того, который примыкает к ребру $CD$: его вершины $Q,P,C,D,M,N$.

Сначала найдём расстояние от точек $M$ и $N$ до основания. Опустим перпендикуляр $M{M}_1$ на плоскость основания. Прямые $M{M}_1$ и $SO$ перпендикулярны одной плоскости, поэтому параллельны, и точка $M_1$ лежит на отрезке $OD$. Треугольники $DM{M}_1$ и $DSO$ подобны с коэффициентом $\frac{DM}{DS}=\frac{1}{3}$, поэтому $M{M}_1=\frac{h}{3}$. Так же расстояние от $N$ до основания равно $\frac{h}{3}$.

Разрежем многогранник $QPCDMN$ плоскостью $MPC$ на четырёхугольную пирамиду $MQPCD$ с вершиной $M$ и основанием $QPCD$ и тетраэдр $MPCN$.

Объём пирамиды $MQPCD$: основание — прямоугольник $QPCD$ со сторонами $a$ и $\frac{a}{2}$, высота — расстояние от $M$ до основания:

$$V_1=\frac{1}{3}\cdot S_{QPCD}\cdot M{M}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot \frac{h}{3}=\frac{a^{2}h}{18}.$$

Тетраэдр $MPCN$ будем считать пирамидой с вершиной $P$ и основанием $CMN$, которое лежит в плоскости $SCD$. Сравним его с пирамидой $PSCD$: вершина та же, основания лежат в одной плоскости, значит, высоты равны и объёмы относятся как площади оснований.

Треугольники $SMC$ и $SDC$ имеют общую высоту из вершины $C$, поэтому $S_{SMC}=\frac{SM}{SD}\cdot S_{SDC}=\frac{2}{3}{S}_{SDC}$. Треугольник $SMN$ подобен треугольнику $SDC$ с коэффициентом $\frac{2}{3}$, поэтому $S_{SMN}=\frac{4}{9}{S}_{SDC}$. Тогда

$$S_{CMN}=S_{SMC}-S_{SMN}=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{9}\right)S_{SDC}=\frac{2}{9}{S}_{SDC}.$$

Объём пирамиды $PSCD$ найдём, взяв за вершину $S$: основание — прямоугольный треугольник $PCD$ с катетами $PC=\frac{a}{2}$ и $CD=a$, высота — $h$:

$$V_{SPCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^{2}h}{12}.$$

Значит,

$$V_2=V_{PCMN}=\frac{2}{9}\cdot \frac{a^{2}h}{12}=\frac{a^{2}h}{54}.$$

Объём многогранника $QPCDMN$:

$$V_1+V_2=\frac{a^{2}h}{18}+\frac{a^{2}h}{54}=\frac{3a^{2}h+a^{2}h}{54}=\frac{2a^{2}h}{27}.$$

Объём всей пирамиды $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{9a^{2}h}{27}$, поэтому объём второго многогранника равен

$$\frac{9a^{2}h}{27}-\frac{2a^{2}h}{27}=\frac{7a^{2}h}{27}.$$

Объёмы частей относятся как $2:7$.

Ответ: б) $2:7$.