В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с бо́льшим основанием… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В основании пирамиды $S A B C D$ лежит трапеция $A B C D$ с бо́льшим основанием $A D$ . Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$ . Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $S O$ .

а) Докажите, что сечение пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α$ , если $A D = 10$ , $B C = 8$ , $S O = 8$ , а прямая $S O$ перпендикулярна прямой $A D$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $P$ и $Q$ — середины диагоналей $A C$ и $B D$ . Средняя линия $M N$ трапеции проходит через эти точки: например, в треугольнике $A B C$ прямая, проведённая через середину $M$ стороны $A B$ параллельно $B C$ , по теореме Фалеса делит $A C$ пополам.

Треугольники $A O D$ и $C O B$ подобны ( $∠ O A D = ∠ O C B$ и $∠ O D A = ∠ O B C$ как накрест лежащие при $A D ∥ B C$ ). Обозначим $k = \frac{A D}{B C} > 1$ , тогда $O A = k \cdot O C$ и $O D = k \cdot O B$ . Так как $O A > O C$ , середина $P$ диагонали $A C$ лежит между $A$ и $O$ , и

$O P = O A - A P = O A - \frac{O A + O C}{2} = \frac{O A - O C}{2}, \frac{O P}{O A} = \frac{1 - \frac{1}{k}}{2} .$

Точно так же $Q$ лежит между $O$ и $D$ , и $\frac{O Q}{O D} = \frac{O D - O B}{2 O D} = \frac{1 - \frac{1}{k}}{2}$ . Итак, $\frac{O P}{O A} = \frac{O Q}{O D}$ .

Плоскость $α$ параллельна $S O$ . Плоскость $(S A C)$ содержит прямую $S O$ и точку $P$ плоскости $α$ , поэтому $α$ пересекает её по прямой, проходящей через $P$ параллельно $S O$ . Эта прямая пересекает ребро $S A$ в точке $K$ . Аналогично $α$ пересекает плоскость $(S B D)$ по прямой $Q L ∥ S O$ , где $L$ лежит на $S D$ . Сечение — четырёхугольник $M K L N$ .

Сечение MKLN плоскостью α, параллельной SO

В треугольнике $S A O$ прямая $P K$ параллельна $S O$ , поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $\frac{S K}{S A} = \frac{O P}{O A}$ . В треугольнике $S D O$ прямая $Q L$ параллельна $S O$ , поэтому $\frac{S L}{S D} = \frac{O Q}{O D}$ . Эти отношения равны, значит, треугольник $S K L$ подобен треугольнику $S A D$ с коэффициентом $\frac{O P}{O A}$ . Отсюда $K L ∥ A D$ и

$K L = A D \cdot \frac{1 - \frac{1}{k}}{2} = \frac{A D - B C}{2} .$

Получаем $K L ∥ A D ∥ M N$ , при этом $K L = \frac{A D - B C}{2} < \frac{A D + B C}{2} = M N$ . Две стороны четырёхугольника $M K L N$ параллельны и не равны, поэтому сечение — трапеция. Что и требовалось доказать.

б) Подставим данные: $A D = 10$ , $B C = 8$ . Основания трапеции:

$K L = \frac{10 - 8}{2} = 1, M N = \frac{10 + 8}{2} = 9.$

Найдём высоту. Так как $P K ∥ S O$ и $S O ⊥ A D$ , то $P K ⊥ A D$ , а значит, $P K$ перпендикулярен и прямым $M N$ и $K L$ , параллельным $A D$ . Точка $P$ лежит на $M N$ , точка $K$ — на $K L$ , поэтому $P K$ — высота трапеции.

Из подобия треугольников $A O D$ и $C O B$ имеем $A O : O C = A D : B C = 5 : 4$ , поэтому $A O = \frac{5}{9} A C$ , а $A P = \frac{1}{2} A C$ . Треугольник $A P K$ подобен треугольнику $A O S$ (так как $P K ∥ O S$ ), поэтому

$P K = \frac{A P}{A O} \cdot S O = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{9}} \cdot 8 = \frac{9}{10} \cdot 8 = 7, 2.$

Площадь трапеции:

$S_{M K L N} = \frac{K L + M N}{2} \cdot P K = \frac{1 + 9}{2} \cdot 7, 2 = 36.$

Ответ: б) $36$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15