ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Разбор — 3 балла

а) Введём длины: $PC=CD-DP=12-4=8$, $BQ=B{B}_1-B_{1}Q=12-3=9$.

Грани $AB{B}_1{A}_1$ и $DC{C}_1{D}_1$ куба лежат в параллельных плоскостях. Плоскость $(APQ)$ пересекает первую из них по прямой $AQ$. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. Поэтому плоскость $(APQ)$ пересекает грань $DC{C}_1{D}_1$ по прямой, проходящей через $P$ параллельно $AQ$. Эта прямая и пересекает ребро $C{C}_1$ в точке $M$, то есть $PM\parallel AQ$.

Сравним прямоугольные треугольники $ABQ$ и $PCM$ (прямые углы при вершинах $B$ и $C$, так как боковые рёбра куба перпендикулярны рёбрам основания). Их стороны соответственно параллельны и одинаково направлены: $AB\parallel PC$, $BQ\parallel CM$, $AQ\parallel PM$. Углы с соответственно сонаправленными сторонами равны, поэтому $\angle BAQ=\angle CPM$, и треугольники подобны по острому углу. Отсюда

$$\frac{CM}{PC}=\frac{BQ}{AB}\Rightarrow CM=\frac{PC\cdot BQ}{AB}=\frac{8\cdot 9}{12}=6.$$

Так как $C{C}_1=12$, получаем $CM=M{C}_1=6$, то есть $M$ — середина ребра $C{C}_1$. Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $(APQ)$ содержит точки $A$, $P$ и $M$, поэтому это плоскость $(APM)$. Построим перпендикуляр из точки $C$ к этой плоскости.

В плоскости основания опустим перпендикуляр $CT$ на прямую $AP$. Угол $APC$ тупой (он смежный с острым углом $APD$ прямоугольного треугольника $ADP$), поэтому точка $T$ лежит на продолжении отрезка $AP$ за точку $P$.

Ребро $C{C}_1$ перпендикулярно основанию, поэтому $MC\perp (ABC)$. Отрезок $CT$ — проекция наклонной $MT$ на плоскость основания, и $CT\perp AP$. По теореме о трёх перпендикулярах $MT\perp AP$.

Прямая $AP$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CT$ и $MT$ плоскости $(MCT)$, значит, $AP\perp (MCT)$. Опустим в треугольнике $MCT$ высоту $CH$ на сторону $MT$. Тогда $CH\perp MT$ по построению и $CH\perp AP$, так как $CH$ лежит в плоскости $(MCT)$. Прямые $MT$ и $AP$ пересекаются и лежат в плоскости $(APM)$, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $CH\perp (APM)$. Искомое расстояние равно $CH$.

Найдём $CT$. Из прямоугольного треугольника $ADP$:

$$AP=\sqrt{A{D}^2+D{P}^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.$$

Площадь треугольника $ACP$ посчитаем двумя способами. С одной стороны, его высота к стороне $CP$ — это $AD$ (так как $AD\perp CD$), поэтому $S_{ACP}=\frac{1}{2}\cdot CP\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=48$. С другой стороны, $S_{ACP}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot CT$. Отсюда

$$CT=\frac{2S_{ACP}}{AP}=\frac{96}{4\sqrt{10}}=\frac{24}{\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{10}}{5}.$$

Треугольник $MCT$ прямоугольный с прямым углом $C$, так как $MC\perp (ABC)$. По теореме Пифагора

$$MT=\sqrt{M{C}^2+C{T}^2}=\sqrt{36+\frac{288}{5}}=\sqrt{\frac{468}{5}}=\frac{6\sqrt{13}}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{65}}{5}.$$

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$$CH=\frac{MC\cdot CT}{MT}=\frac{6\cdot \frac{12\sqrt{10}}{5}}{\frac{6\sqrt{65}}{5}}=\frac{12\sqrt{10}}{\sqrt{65}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{13}}=\frac{12\sqrt{26}}{13}.$$

Проверим ответ методом объёмов. Объём тетраэдра $MACP$ с основанием $ACP$ и высотой $MC$ равен $\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 6=96$. Площадь треугольника $APM$ с высотой $MT$ к стороне $AP$ равна $\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{10}\cdot \frac{6\sqrt{65}}{5}=\frac{12\sqrt{650}}{5}=12\sqrt{26}$. Тогда расстояние от $C$ до плоскости $APM$ равно $\frac{3\cdot 96}{12\sqrt{26}}=\frac{24}{\sqrt{26}}=\frac{12\sqrt{26}}{13}$ — результат совпал.

Ответ: б) $\frac{12\sqrt{26}}{13}$.