ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Призма прямая, поэтому $B{B}_1\perp (A_1{B}_1{C}_1)$, и отрезок $B_1{C}_1$ — проекция наклонной $B{C}_1$ на плоскость $A_1{B}_1{C}_1$. Основания призмы равны, поэтому $\angle A_1{C}_1{B}_1=\angle ACB=90^{\circ }$, то есть $A_1{C}_1\perp B_1{C}_1$.

Прямая $A_1{C}_1$ лежит в плоскости $A_1{B}_1{C}_1$ и перпендикулярна проекции $B_1{C}_1$. По теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и наклонной: $A_1{C}_1\perp B{C}_1$. Значит, $\angle B{C}_1{A}_1=90^{\circ }$ и треугольник $B{A}_1{C}_1$ прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Прямая $BC$ перпендикулярна $AC$ (так как $\angle C=90^{\circ }$) и $C{C}_1$ (боковое ребро перпендикулярно основанию). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC\perp (A{A}_1{C}_1)$, поэтому $BC$ — высота пирамиды $BA{A}_1{C}_1$ с основанием $A{A}_1{C}_1$.

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, их диагонали равны, так что $A_{1}B=26$ и $B{C}_1=10$. Найдём рёбра по теореме Пифагора.

Из прямоугольного треугольника $AB{A}_1$ (прямой угол $A$):

$$A{A}_1=\sqrt{A_1{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{51}.$$

Из прямоугольного треугольника $BC{C}_1$ (прямой угол $C$, $C{C}_1=A{A}_1$):

$$BC=\sqrt{B{C}_1^2-C{C}_1^2}=\sqrt{100-51}=7.$$

Из прямоугольного треугольника $ABC$:

$$A_1{C}_1=AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{625-49}=24.$$

(То же даёт пункт а): $A_1{C}_1=\sqrt{A_1{B}^2-B{C}_1^2}=\sqrt{676-100}=24$.)

Треугольник $A{A}_1{C}_1$ прямоугольный с прямым углом $A_1$ ($A{A}_1\perp A_1{C}_1$), поэтому

$$S_{A{A}_1{C}_1}=\frac{1}{2}\cdot A{A}_1\cdot A_1{C}_1=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{51}\cdot 24=12\sqrt{51}.$$

Объём пирамиды:

$$V_{A{A}_1{C}_{1}B}=\frac{1}{3}\cdot S_{A{A}_1{C}_1}\cdot BC=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{51}\cdot 7=28\sqrt{51}.$$

Ответ: б) $28\sqrt{51}$.