ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $N^{\prime }$ — середина отрезка $AB$. В треугольнике $ASB$ отрезок $M{N}^{\prime }$ соединяет середины сторон $SA$ и $AB$, значит, это средняя линия и $M{N}^{\prime }\parallel SB$.

Через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная $SB$. Она не параллельна плоскости основания (так как $SB$ пересекает эту плоскость) и пересекает её ровно в одной точке. Точка $N^{\prime }$ лежит на этой прямой и в плоскости основания, поэтому $N=N^{\prime }$, то есть $N$ — середина $AB$.

Треугольник $AOB$ равнобедренный: $OA=OB$ как радиусы основания. Его медиана $ON$ является и высотой, поэтому $ON\perp AB$ и $\angle ANO=90^{\circ }$, что и требовалось доказать.

б) Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Пусть $M^{\prime }$ — проекция $M$ на плоскость основания. Так как $SO$ перпендикулярна основанию, $M{M}^{\prime }\parallel SO$, и $M^{\prime }$ лежит на $AO$. В треугольнике $ASO$ отрезок $M{M}^{\prime }$ проходит через середину $M$ стороны $SA$ параллельно $SO$, значит, это средняя линия: $M^{\prime }$ — середина $AO$ и

$$M{M}^{\prime }=\frac{1}{2}SO=\frac{3\sqrt{41}}{2}.$$

Отрезок $B{M}^{\prime }$ — проекция $MB$ на основание, поэтому искомый угол равен $\angle MB{M}^{\prime }$.

Найдём $B{M}^{\prime }$. Из пункта а) треугольник $ANO$ прямоугольный, $AN=\frac{1}{2}AB=5$, поэтому $\cos \angle OAB=\frac{AN}{AO}=\frac{5}{13}$. По теореме косинусов в треугольнике $AB{M}^{\prime }$ ($A{M}^{\prime }=\frac{13}{2}$):

$$B{M}^{\prime 2}=A{B}^2+A{M}^{\prime 2}-2\cdot AB\cdot A{M}^{\prime }\cdot \cos \angle OAB=100+\frac{169}{4}-2\cdot 10\cdot \frac{13}{2}\cdot \frac{5}{13}=50+\frac{169}{4}=\frac{369}{4},$$

откуда $B{M}^{\prime }=\frac{\sqrt{369}}{2}=\frac{3\sqrt{41}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $M{M}^{\prime }B$ (прямой угол $M^{\prime }$):

$$\mathrm{tg}\angle MB{M}^{\prime }=\frac{M{M}^{\prime }}{B{M}^{\prime }}=\frac{3\sqrt{41}/2}{3\sqrt{41}/2}=1,\angle MB{M}^{\prime }=45^{\circ }.$$

Ответ: б) $45^{\circ }$.