ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Прямые $LN$ и $KM$ пересекаются, поэтому через них проходит плоскость $\beta$, и точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в $\beta$.

Прямые $MN$ и $SB$ лежат в плоскости грани $SAB$. Они не параллельны: если бы $MN\parallel SB$, то в треугольнике $ASB$ прямая, проходящая через середину $M$ стороны $AB$ параллельно $SB$, по теореме Фалеса пересекала бы $SA$ в её середине, а по условию $AN:NS=3:2$. Значит, прямые $MN$ и $SB$ пересекаются в некоторой точке $T$.

Точка $T$ лежит на прямой $MN\subset \beta$ и на прямой $SB\subset (SBC)$, то есть это общая точка плоскостей $\beta$ и $SBC$. Эти плоскости различны: точка $M$ лежит в $\beta$, но не в $SBC$ (прямая $AB$ пересекает плоскость $SBC$ только в точке $B$). Значит, они пересекаются по прямой, проходящей через их общие точки $K$ и $L$, то есть по прямой $KL$. Поэтому $T\in KL$.

Итак, прямые $NM$, $KL$ и $BS$ проходят через одну точку $T$, что и требовалось доказать.

б) Прямая $MN$ пересекает стороны $AB$ и $AS$ треугольника $ASB$ во внутренних точках, а продолжение стороны $SB$ — в точке $T$. По теореме Менелая для треугольника $ASB$ и прямой $MNT$:

$$\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BT}{TS}\cdot \frac{SN}{NA}=1\Rightarrow 1\cdot \frac{BT}{TS}\cdot \frac{2}{3}=1\Rightarrow \frac{ST}{TB}=\frac{2}{3}.$$

По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $TLK$ (точка $K$ — середина $SC$, то есть $CK=KS$):

$$\frac{ST}{TB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CK}{KS}=1\Rightarrow \frac{2}{3}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot 1=1\Rightarrow \frac{BL}{LC}=\frac{3}{2}.$$

Ответ: б) $BL:LC=3:2$.