Основанием четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является прямоугольная… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная 2026 развёрнутое

Основанием четырехугольной призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ является прямоугольная трапеция $A B C D,$ в которой $∠ B A D = 9 0^{\circ},$ а основания $A B$ и $C D$ соответственно равны $c$ и $b .$

а) Докажите, что если $c = 4 b,$ то объемы многогранников, на которые призму $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ делит плоскость $(C D A_{1}),$ относятся как $3 : 2.$

б) Объемы многогранников $D A_{1} D_{1} C B_{1} C_{1}$ и $A D A_{1} B C B_{1},$ на которые призму $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ делит плоскость $(C D A_{1}),$ соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1},$ если $C D = 5,$ $A D = 4.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Обозначим $A D = p$ , высоту призмы $H$ . Так как $A B ∥ C D$ и $∠ B A D = 9 0^{\circ}$ , то и $∠ A D C = 9 0^{\circ}$ . Площадь основания и объём призмы:

$S = \frac{b + c}{2} p, V = \frac{b + c}{2} p H .$

Найдём сечение. Плоскость $C D A_{1}$ содержит прямую $C D$ и точку $A_{1}$ . Прямая $A_{1} B_{1}$ параллельна $A B$ , а значит, и $C D$ . Прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой этой плоскости, лежит в ней, поэтому $A_{1} B_{1}$ лежит в плоскости $C D A_{1}$ . Сечение — четырёхугольник $A_{1} B_{1} C D$ . Оно делит призму на многогранник $D A_{1} D_{1} C B_{1} C_{1}$ (с вершинами $D_{1}$ , $C_{1}$ ; его объём обозначим $V_{1}$ ) и многогранник $A D A_{1} B C B_{1}$ (с вершинами $A$ , $B$ ; объём $V_{2}$ ).

Разобьём первый многогранник плоскостью $C A_{1} D_{1}$ на четырёхугольную пирамиду $C A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и треугольную пирамиду $C D A_{1} D_{1}$ .

У пирамиды $C A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ основание — верхнее основание призмы, а вершина $C$ лежит в нижнем основании, поэтому её высота равна $H$ :

$V_{C A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{b + c}{2} p \cdot H = \frac{( b + c ) p H}{6} .$

Основание пирамиды $C D A_{1} D_{1}$ — треугольник $D A_{1} D_{1}$ в плоскости боковой грани $A A_{1} D_{1} D$ . Диагональ $A_{1} D$ делит параллелограмм $A A_{1} D_{1} D$ на два равных треугольника $D A_{1} D_{1}$ и $A_{1} A D$ . Пирамиды $C D A_{1} D_{1}$ и $C A_{1} A D$ имеют равные основания в одной плоскости и общую вершину $C$ , то есть равные высоты, поэтому их объёмы равны. А пирамиду $C A_{1} A D$ можно рассматривать как пирамиду с вершиной $A_{1}$ и основанием $A C D$ в плоскости нижнего основания; её высота равна $H$ , а треугольник $A C D$ прямоугольный с катетами $A D = p$ и $D C = b$ :

$V_{C D A_{1} D_{1}} = V_{A_{1} A C D} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} b p \cdot H = \frac{b p H}{6} .$

Складываем:

$V_{1} = \frac{( b + c ) p H}{6} + \frac{b p H}{6} = \frac{( 2 b + c ) p H}{6}, V_{2} = V - V_{1} = \frac{3 ( b + c ) p H - ( 2 b + c ) p H}{6} = \frac{( b + 2 c ) p H}{6} .$

Итак, при любых $b$ и $c$

$V_{2} : V_{1} = (b + 2 c) : (2 b + c) .$

При $c = 4 b$ получаем $V_{2} : V_{1} = 9 b : 6 b = 3 : 2$ , что и требовалось доказать.

б) По условию $V_{1} = V_{D A_{1} D_{1} C B_{1} C_{1}} = 30$ , $V_{2} = V_{A D A_{1} B C B_{1}} = 20$ . По формуле из пункта а):

$\frac{b + 2 c}{2 b + c} = \frac{20}{30} \Leftrightarrow 3 (b + 2 c) = 2 (2 b + c) \Leftrightarrow b = 4 c .$

Так как $b = C D = 5$ , то $c = A B = \frac{5}{4}$ . Объём призмы $V = V_{1} + V_{2} = 50$ , поэтому

$\frac{b + c}{2} \cdot p \cdot H = 50 \Leftrightarrow \frac{1}{2} (5 + \frac{5}{4}) \cdot 4 \cdot H = 50 \Leftrightarrow \frac{25}{2} H = 50 \Leftrightarrow H = 4.$

Ответ: б) 4.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15