В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 6, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $C D$ и $S C$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $D N : N C = S K : K C = 1 : 2$ . Плоскость $α$ содержит прямую $K N$ и параллельна прямой $B C$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A$ .

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение KLMN плоскостью α

а) Построим плоскость $α$ . Прямая $B C$ параллельна $α$ , а плоскость $S B C$ проходит через $B C$ и имеет с $α$ общую точку $K$ . Поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через $K$ параллельно $B C$ : $K L ∥ B C$ , $L \in S B$ . Точно так же плоскость основания проходит через $B C$ и содержит точку $N$ , поэтому $α$ пересекает основание по прямой $N M ∥ B C$ , $M \in A B$ . Сечение — четырёхугольник $K L M N$ .

В треугольнике $S B C$ прямая $K L$ параллельна $B C$ , поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $S L : L B = S K : K C = 1 : 2$ . В квадрате $M N ∥ B C ∥ A D$ , значит, $A M N D$ — прямоугольник, $A M = D N$ , $M B = N C$ , и $A M : M B = D N : N C = 1 : 2$ . Отсюда

$\frac{B L}{B S} = \frac{2}{3} = \frac{B M}{B A} .$

Треугольники $B L M$ и $B S A$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу $B$ , поэтому $∠ B M L = ∠ B A S$ , и по признаку параллельности прямых $L M ∥ S A$ .

Прямая $L M$ лежит в $α$ , а прямая $S A$ — нет: иначе $α$ содержала бы точки $S$ и $L$ , а значит, и точку $B$ , и вместе с точками $A$ и $N$ совпала бы с плоскостью основания, которой $S$ не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $S A ∥ α$ , что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Из $D N : N C = S K : K C = 1 : 2$ получаем $\frac{C K}{C S} = \frac{C N}{C D} = \frac{2}{3}$ , поэтому в треугольнике $C S D$ прямая $K N$ параллельна $S D$ . Кроме того, $M N ∥ A D$ . Пересекающиеся прямые $K N$ и $M N$ плоскости $α$ параллельны прямым $S D$ и $A D$ плоскости $S A D$ , значит, по признаку параллельности плоскостей $α ∥ (S A D)$ . Угол между плоскостями не меняется, если одну из них заменить параллельной, поэтому искомый угол равен углу между гранями $S A D$ и $S B C$ .

Плоскости $S A D$ и $S B C$ имеют общую точку $S$ . Прямая $A D$ параллельна $B C$ , а значит, и плоскости $S B C$ , поэтому плоскость $S A D$ пересекает $S B C$ по прямой $l$ , проходящей через $S$ параллельно $A D$ и $B C$ .

Пусть $Q$ и $P$ — середины $A D$ и $B C$ . Треугольник $S A D$ равнобедренный ( $S A = S D$ как боковые рёбра правильной пирамиды), поэтому медиана $S Q$ — высота: $S Q ⊥ A D$ , а значит, $S Q ⊥ l$ . Аналогично $S P ⊥ B C$ и $S P ⊥ l$ . Следовательно, $∠ QS P$ — линейный угол двугранного угла между гранями $S A D$ и $S B C$ .

Апофемы по теореме Пифагора:

$S Q = S P = S A^{2} - A Q^{2} = 49 - 9 = 40 = 210 .$

Отрезок $P Q$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $P Q = A B = 6$ . По теореме косинусов в треугольнике $QS P$ :

$cos ∠ QS P = \frac{S Q ^{2} + S P ^{2} - P Q ^{2}}{2 \cdot S Q \cdot S P} = \frac{40 + 40 - 36}{2 \cdot 40} = \frac{44}{80} = \frac{11}{20} .$

Косинус положителен, значит, угол $QS P$ острый и равен углу между плоскостями. Тот же результат даёт половина угла: если $O$ — центр основания, то $sin ∠ QS O = \frac{O Q}{S Q} = \frac{3}{2 10}$ и $cos ∠ QS P = 1 - 2 sin^{2} ∠ QS O = 1 - \frac{18}{40} = \frac{11}{20}$ .

Ответ: б) $arccos \frac{11}{20}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15