ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. В плоскости верхней грани прямая $D_{1}T$ не параллельна $A_1{B}_1$ (параллельная $A_1{B}_1$ прямая через $D_1$ — это $D_1{C}_1$), поэтому она пересекает прямую $A_1{B}_1$ в некоторой точке $W$.

Прямоугольные треугольники $D_1{C}_{1}T$ и $W{B}_{1}T$ равны по катету и прилежащему острому углу: $C_{1}T=T{B}_1$ ($T$ — середина $B_1{C}_1$), $\angle C_1=\angle B_1=90^{\circ }$, $\angle D_{1}T{C}_1=\angle WT{B}_1$ как вертикальные. Отсюда $B_{1}W=C_1{D}_1=A_1{B}_1$, то есть $B_1$ — середина $A_{1}W$.

В плоскости грани $AB{B}_1{A}_1$ проведём прямую $EW$; она пересекает прямую $B{B}_1$ в точке $K$. В треугольнике $A_{1}WE$ отрезок $B_{1}K$ параллелен $A_{1}E$ ($B{B}_1\parallel A{A}_1$) и проходит через середину $B_1$ стороны $A_{1}W$. Значит, $B_{1}K$ — средняя линия:

$$B_{1}K=\frac{1}{2}{A}_{1}E=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{7}A{A}_1=\frac{5}{14}A{A}_1<B{B}_1,$$

поэтому точка $K$ лежит на ребре $B{B}_1$. Сечение — четырёхугольник $E{D}_{1}TK$.

Грани $AD{D}_1{A}_1$ и $BC{C}_1{B}_1$ параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым: $E{D}_1\parallel KT$. Две другие стороны $EK$ и $D_{1}T$ не параллельны — их продолжения пересекаются в точке $W$. Значит, $E{D}_{1}TK$ — трапеция, что и требовалось доказать.

б) Из $A_{1}E:EA=5:2$ и $A{A}_1=14$ находим $A_{1}E=10$, $EA=4$. По пункту а) $B_{1}W=A_1{B}_1=3\sqrt{2}$, поэтому $A_{1}W=6\sqrt{2}$; кроме того, $A_1{D}_1=AD=4$.

Точки $D_1$ и $T$ лежат и в плоскости $ET{D}_1$, и в плоскости $A_1{B}_1{C}_1$, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $D_{1}T$, то есть по прямой $D_{1}W$.

Проведём в плоскости верхнего основания $A_{1}H\perp D_{1}W$. Ребро $E{A}_1$ перпендикулярно плоскости $A_1{B}_1{C}_1$, поэтому $A_{1}H$ — проекция наклонной $EH$ на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах $EH\perp D_{1}W$. Значит, $\angle EH{A}_1$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $ET{D}_1$ и $A_1{B}_1{C}_1$. Он острый (треугольник $E{A}_{1}H$ прямоугольный с прямым углом $A_1$), поэтому равен искомому углу.

В прямоугольном треугольнике $D_1{A}_{1}W$ по теореме Пифагора

$$D_{1}W=\sqrt{A_1{D}_1^2+A_1{W}^2}=\sqrt{16+72}=\sqrt{88}=2\sqrt{22}.$$

$A_{1}H$ — высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе. Из равенства $\frac{1}{2}{A}_1{D}_1\cdot A_{1}W=\frac{1}{2}{D}_{1}W\cdot A_{1}H$:

$$A_{1}H=\frac{A_1{D}_1\cdot A_{1}W}{D_{1}W}=\frac{4\cdot 6\sqrt{2}}{2\sqrt{22}}=\frac{12}{\sqrt{11}}.$$

Из прямоугольного треугольника $E{A}_{1}H$:

$$\mathrm{tg}\angle EH{A}_1=\frac{A_{1}E}{A_{1}H}=\frac{10\sqrt{11}}{12}=\frac{5\sqrt{11}}{6},\angle EH{A}_1=\mathrm{arctg}\frac{5\sqrt{11}}{6}.$$

Ответ: б) $\mathrm{arctg}\frac{5\sqrt{11}}{6}$.