ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Две пересекающиеся плоскости $SAB$ и $SCB$ перпендикулярны плоскости основания, поэтому и линия их пересечения $SB$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $SB\perp AB$ и $SB\perp BC$.

Прямоугольные треугольники $SBA$ и $SBC$ равны по двум катетам: катет $SB$ общий, $AB=BC$ как стороны ромба. Отсюда $SA=SC$.

Треугольники $SAD$ и $SCD$ равны по трём сторонам: $SD$ — общая сторона, $SA=SC$, $AD=CD$ как стороны ромба. Равные треугольники имеют равные площади, поэтому грани $SAD$ и $SCD$ равновеликие, что и требовалось доказать.

б) Так как $SB\perp AB$ и $SB\perp BC$, угол $ABC$ — линейный угол двугранного угла между гранями $SAB$ и $SCB$. Значит, $\angle ABC=150^{\circ }$. Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ }$, поэтому

$$\angle BCD=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Проведём в плоскости основания $BH\perp CD$. Точка $H$ лежит на стороне $CD$, так как в треугольнике $BCD$ оба угла при стороне $CD$ острые: $\angle BCD=30^{\circ }$, $\angle BDC=\frac{1}{2}\angle ADC=75^{\circ }$.

Отрезок $BH$ — проекция наклонной $SH$ на плоскость основания, и $CD\perp BH$. По теореме о трёх перпендикулярах $CD\perp SH$. Значит, $\angle SHB$ — линейный угол двугранного угла между гранью $SCD$ и основанием, и по условию $\angle SHB=60^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ лежит против угла $30^{\circ }$, поэтому

$$BH=\frac{1}{2}BC=4.$$

В прямоугольном треугольнике $SBH$ (прямой угол $B$, так как $SB\perp BH$):

$$SB=BH\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=4\sqrt{3},SH=\frac{BH}{\cos 60^{\circ }}=8.$$

Найдём площади граней. Треугольники $SBA$ и $SBC$ прямоугольные с катетами $SB=4\sqrt{3}$ и $8$; $SH$ — высота треугольника $SCD$, проведённая к стороне $CD=8$; по пункту а) $S_{SAD}=S_{SCD}$:

$$S_{SBA}=S_{SBC}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8=16\sqrt{3},S_{SAD}=S_{SCD}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot SH=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8=32.$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}}=2\cdot 16\sqrt{3}+2\cdot 32=64+32\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $64+32\sqrt{3}$.