В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ точка $M$ — середина ребра $A B$ . Через точку $M$ проведена плоскость $α$ , параллельная плоскости $S B C$ и пересекающая ребро $S D$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $K$ — середина ребра $S D$ .

б) Найдите объём пирамиды $S A B C D$ , если $A B = 24$ , а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение плоскостью α, параллельной SBC

а) Плоскость основания пересекает параллельные плоскости $α$ и $S B C$ по параллельным прямым. Плоскость $S B C$ она пересекает по $B C$ , значит, плоскость $α$ — по прямой $M P ∥ B C$ , где $P \in C D$ .

В четырёхугольнике $A M P D$ стороны $A M ∥ D P$ (лежат на параллельных сторонах квадрата) и $M P ∥ A D$ , поэтому это параллелограмм (даже прямоугольник, так как $∠ M A D = 9 0^{\circ}$ ). Значит, $D P = A M = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D$ , то есть $P$ — середина $C D$ .

Плоскость грани $S C D$ пересекает параллельные плоскости $α$ и $S B C$ тоже по параллельным прямым: плоскость $S B C$ — по $S C$ , а плоскость $α$ — по прямой, проходящей через $P$ параллельно $S C$ . Эта прямая пересекает $S D$ в точке $K$ , так что $P K ∥ S C$ .

В треугольнике $S C D$ прямая $P K$ проходит через середину $P$ стороны $C D$ параллельно $S C$ . По теореме Фалеса $K$ — середина $S D$ , что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Пусть $O$ — центр квадрата $A B C D$ ; так как пирамида правильная, $S O$ — её высота. Опустим из $K$ перпендикуляр $K K^{'}$ на плоскость основания. Тогда $K K^{'} ∥ S O$ , и прямая $K K^{'}$ лежит в плоскости $S O D$ , поэтому $K^{'} \in O D$ . В треугольнике $S O D$ отрезок $K K^{'}$ проходит через середину $K$ стороны $S D$ параллельно $S O$ , значит, это средняя линия: $K^{'}$ — середина $O D$ и $K K^{'} = \frac{1}{2} S O$ .

Отрезок $M K^{'}$ — проекция $M K$ на плоскость основания, поэтому угол между прямой $M K$ и основанием равен $∠ K M K^{'} = 3 0^{\circ}$ .

Диагональ квадрата $B D = 242$ , поэтому $B O = O D = 122$ и

$B K^{'} = B O + O K^{'} = 122 + 62 = 182 .$

Также $B M = \frac{1}{2} A B = 12$ и $∠ M B K^{'} = ∠ A B D = 4 5^{\circ}$ (диагональ квадрата делит его угол пополам). По теореме косинусов в треугольнике $M B K^{'}$ :

$M K^{'2} = B M^{2} + B K^{'2} - 2 \cdot B M \cdot B K^{'} \cdot cos 4 5^{\circ} = 144 + 648 - 2 \cdot 12 \cdot 182 \cdot \frac{2}{2} = 792 - 432 = 360,$

откуда $M K^{'} = 610$ .

В прямоугольном треугольнике $M K^{'} K$ (прямой угол $K^{'}$ ):

$K K^{'} = M K^{'} \cdot tg 3 0^{\circ} = \frac{6 10}{3} = 230, S O = 2 K K^{'} = 430 .$

Объём пирамиды:

$V_{S A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot 2 4^{2} \cdot 430 = 76830 .$

Ответ: б) $76830$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15