Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точка M — середина ребра AA₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2022 развёрнутое

Дана треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1} .$ Точка $M$ — середина ребра $A A_{1} .$ Плоскость $α$ проходит через ребро $B B_{1}$ и перпендикулярна прямой $C M .$

а) Докажите, что одна из диагоналей грани $A A_{1} C_{1} C$ равна одной из ее сторон.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $α,$ если $α$ делит ребро $A C$ в отношении $1 : 5,$ считая от точки $A,$ $A C = 20$ и $A A_{1} = 32.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $C M ⊥ α$ . Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, поэтому $C M ⊥ B B_{1}$ .

В призме $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , а угол между прямыми не меняется, если одну из них заменить параллельной. Значит, $C M ⊥ A A_{1}$ , причём эти прямые пересекаются в точке $M$ .

Рассмотрим треугольник $A A_{1} C$ в плоскости грани $A A_{1} C_{1} C$ . Отрезок $C M$ — его медиана ( $M$ — середина $A A_{1}$ ) и одновременно высота. Треугольник, у которого медиана совпадает с высотой, равнобедренный, поэтому $C A = C A_{1}$ . Итак, диагональ $A_{1} C$ грани $A A_{1} C_{1} C$ равна её стороне $A C$ , что и требовалось доказать.

б) Пусть $α$ пересекает ребро $A C$ в точке $D$ . По условию $A D : D C = 1 : 5$ и $A C = 20$ , поэтому

$A D = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}, D C = \frac{5 \cdot 20}{6} = \frac{50}{3} .$

Плоскость $α$ содержит прямую $B B_{1}$ , параллельную $A A_{1}$ , а прямая $A A_{1}$ в $α$ не лежит (плоскость $α$ пересекает прямую $A C$ только в точке $D \neq = A$ ). Значит, $A A_{1} ∥ α$ . Плоскость грани $A A_{1} C_{1} C$ проходит через $A A_{1}$ и пересекает $α$ в точке $D$ , поэтому линия их пересечения — прямая $D D_{1} ∥ A A_{1}$ , где $D_{1} \in A_{1} C_{1}$ .

Так как $C M ⊥ α$ , то $C M ⊥ D D_{1}$ . Прямые $C M$ и $D D_{1}$ лежат в плоскости грани и перпендикулярны, значит, пересекаются; обозначим точку пересечения $H$ . Точка $H$ лежит в $α$ , а $C H ⊥ α$ , поэтому $C H$ — искомое расстояние от $C$ до плоскости $α$ .

По пункту а) треугольник $A M C$ прямоугольный с прямым углом $M$ . Так как $M$ — середина $A A_{1}$ , то $A M = \frac{1}{2} A A_{1} = 16$ . По теореме Пифагора

$C M = A C^{2} - A M^{2} = 2 0^{2} - 1 6^{2} = 144 = 12.$

В треугольнике $A M C$ прямая $D H$ параллельна $A M$ ( $D D_{1} ∥ A A_{1}$ ), поэтому треугольники $D H C$ и $A M C$ подобны (угол $C$ общий, $∠ C D H = ∠ C A M$ как соответственные). Отсюда

$\frac{C H}{C M} = \frac{C D}{C A} = \frac{50/3}{20} = \frac{5}{6}, C H = \frac{5}{6} \cdot 12 = 10.$

Ответ: б) 10.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15