Дана четырехугольная пирамида PABCD, в основании которой лежит… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2017 развёрнутое

Дана четырехугольная пирамида $P A B C D,$ в основании которой лежит трапеция $A B C D$ с большим основанием $A D .$ Известно, что сумма углов $B A D$ и $C D A$ равна $9 0^{\circ} .$ Грани $P A B$ и $P C D$ перпендикулярны плоскости основания. $K$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D .$

а) Докажите, что грани $P A B$ и $P C D$ перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды $P B C K,$ если известно, что $A B = B C = C D = 2,$ а высота пирамиды $P A B C D$ равна 12.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Плоскости граней $P A B$ и $P C D$ пересекаются по прямой $P K$ : точка $P$ у них общая, а точка $K$ лежит и на прямой $A B$ , и на прямой $C D$ .

Опустим из точки $P$ перпендикуляр $P H$ на плоскость основания. Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный из точки одной плоскости на другую, лежит в первой плоскости. Так как $(P A B) ⊥ (A B C)$ , перпендикуляр $P H$ лежит в плоскости $P A B$ , и его основание $H$ лежит на прямой $A B$ — линии пересечения этой плоскости с основанием. Так как $(P C D) ⊥ (A B C)$ , тот же перпендикуляр лежит и в плоскости $P C D$ , и $H$ лежит на прямой $C D$ .

Из точки на плоскость можно опустить только один перпендикуляр, поэтому $H$ — общая точка прямых $A B$ и $C D$ , то есть $H = K$ . Значит, $P K ⊥ (A B C)$ и $P K$ — высота пирамиды.

В треугольнике $A K D$ сумма углов при вершинах $A$ и $D$ равна $∠ B A D + ∠ C D A = 9 0^{\circ}$ , поэтому $∠ A K D = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , то есть $A K ⊥ K D$ .

Кроме того, $A K ⊥ P K$ , так как $P K$ перпендикулярна плоскости основания, а $A K$ в ней лежит. Прямая $A K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $K D$ и $P K$ плоскости $P C D$ , поэтому по признаку $A K ⊥ (P C D)$ . Плоскость $P A B$ проходит через прямую $A K$ , перпендикулярную плоскости $P C D$ , следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей $(P A B) ⊥ (P C D)$ , что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $P K$ — высота пирамиды, $P K = 12$ . Так как $A D$ — большее основание, боковые стороны пересекаются за меньшим основанием $B C$ : точка $B$ лежит на отрезке $K A$ , точка $C$ — на отрезке $K D$ .

Параллельные прямые $B C$ и $A D$ пересекают стороны угла $A K D$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{K B}{B A} = \frac{K C}{C D},$

а так как $B A = C D = 2$ , получаем $K B = K C$ .

Треугольник $B K C$ прямоугольный ( $∠ B K C = ∠ A K D = 9 0^{\circ}$ ) и равнобедренный, его гипотенуза $B C = 2$ . По теореме Пифагора $2 K B^{2} = B C^{2} = 4$ , откуда

$K B = K C = 2 .$

Пирамида $P B C K$ имеет основание $B C K$ в плоскости $A B C$ и высоту $P K$ :

$V_{P B C K} = \frac{1}{3} \cdot S_{B K C} \cdot P K = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12 = 4.$

Ответ: б) 4.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15