ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Плоскость $\alpha$ пересекает основание по прямой $MN$ — средней линии трапеции, поэтому $MN\parallel AD\parallel BC$. Пусть $MN$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$.

В треугольнике $ABC$ прямая $MN$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ параллельно $BC$. По теореме Фалеса $E$ — середина $AC$, а $ME$ — средняя линия: $ME=\frac{1}{2}BC$. Аналогично в треугольнике $BCD$: $F$ — середина $BD$ и $FN=\frac{1}{2}BC$.

Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны ($BC\parallel AD$), поэтому $AO:OC=AD:BC>1$, то есть $AO>\frac{1}{2}AC=AE$. Значит, точка $E$ лежит на отрезке $AO$; аналогично $F$ лежит на отрезке $DO$.

Плоскость $ASC$ проходит через прямую $SO$, параллельную плоскости $\alpha$, и имеет с $\alpha$ общую точку $E$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Поэтому $\alpha$ пересекает плоскость $ASC$ по прямой, проходящей через $E$ параллельно $SO$. В треугольнике $ASO$ эта прямая пересекает сторону $AS$ в точке $L$. Точно так же $\alpha$ пересекает плоскость $BSD$ по прямой $FK\parallel SO$, где $K\in SD$.

Сечение — четырёхугольник $MLKN$: сторона $ML$ лежит в грани $SAB$, $LK$ — в грани $SAD$, $KN$ — в грани $SCD$, $NM$ — в основании.

Докажем, что $LK\parallel MN$. Так как $EF\parallel AD$, треугольники $EOF$ и $AOD$ подобны, и $\frac{EO}{AO}=\frac{FO}{DO}$. Тогда

$$\frac{AE}{AO}=1-\frac{EO}{AO}=1-\frac{FO}{DO}=\frac{DF}{DO}.$$

В треугольнике $ASO$ прямая $EL$ параллельна $SO$, в треугольнике $DSO$ прямая $FK$ параллельна $SO$. По теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{AL}{AS}=\frac{AE}{AO}=\frac{DF}{DO}=\frac{DK}{DS}.$$

Значит, в треугольнике $ASD$ прямая $LK$ отсекает от сторон $AS$ и $DS$ пропорциональные отрезки, и по обратной теореме $LK\parallel AD$. Так как и $MN\parallel AD$, получаем $LK\parallel MN$.

Осталось проверить, что $LK\ne MN$. Прямые $EL$ и $FK$ параллельны (обе параллельны $SO$), а $LK\parallel EF$, поэтому $EFKL$ — параллелограмм и $LK=EF$. Но $EF=MN-ME-FN<MN$. В четырёхугольнике $MLKN$ стороны $LK$ и $MN$ параллельны и не равны, поэтому он не параллелограмм, и две другие его стороны не параллельны. Значит, сечение — трапеция, что и требовалось доказать.

б) Средняя линия трапеции

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{7+5}{2}=6,$$

а $ME=FN=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$. Поэтому

$$LK=EF=MN-ME-FN=6-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=1.$$

Найдём высоту трапеции $MLKN$. Так как $SO\perp AD$ и $MN\parallel AD$, то $SO\perp MN$; прямая $EL$ параллельна $SO$, значит, $EL\perp MN$. Поскольку $LK\parallel MN$, отрезок $EL$ — общий перпендикуляр к основаниям, то есть высота трапеции.

Из подобия треугольников $EOF$ и $AOD$: $\frac{EO}{AO}=\frac{EF}{AD}=\frac{1}{7}$, значит, $\frac{AE}{AO}=\frac{6}{7}$. Треугольники $AEL$ и $AOS$ подобны ($EL\parallel OS$), поэтому

$$\frac{EL}{SO}=\frac{AE}{AO}=\frac{6}{7},EL=\frac{6}{7}\cdot 4=\frac{24}{7}.$$

Площадь сечения:

$$S_{MLKN}=\frac{MN+LK}{2}\cdot EL=\frac{6+1}{2}\cdot \frac{24}{7}=12.$$

Ответ: б) 12.