В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Цилиндры средняя развёрнутое

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$ , причём $B B_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $A B C_{1}$ прямой.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ , если $A B = 21$ , $B B_{1} = 12$ , $B_{1} C_{1} = 16$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Цилиндр, треугольник ABC₁

а) Пусть $O$ и $O_{1}$ — центры оснований, причём $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания с центром $O$ . Прямая $O O_{1}$ — ось цилиндра.

По условию прямая $A C_{1}$ пересекает ось, поэтому прямые $A C_{1}$ и $O O_{1}$ лежат в одной плоскости; обозначим её $β$ . Проведём через точку $C_{1}$ образующую $C_{1} C$ , где $C$ — точка окружности нижнего основания. Образующая параллельна оси, а прямая, проходящая через точку плоскости параллельно прямой этой плоскости, целиком лежит в этой плоскости. Значит, $C C_{1} \subset β$ и $C \in β$ .

Точки $A$ , $O$ и $C$ лежат одновременно в плоскости $β$ и в плоскости нижнего основания. Эти плоскости различны ( $β$ содержит ось, перпендикулярную основанию), поэтому пересекаются по прямой — значит, $A$ , $O$ , $C$ лежат на одной прямой. При этом $C \neq = A$ : иначе $A C_{1}$ была бы образующей, то есть была бы параллельна оси и не пересекала бы её. Итак, хорда $A C$ проходит через центр $O$ , то есть $A C$ — диаметр нижнего основания.

Рисунок к решению

Точка $B$ не совпадает с $C$ (иначе образующие $B B_{1}$ и $C C_{1}$ совпали бы и $B_{1} = C_{1}$ ). Вписанный угол $A B C$ опирается на диаметр $A C$ , поэтому $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ , то есть $A B ⊥ B C$ .

Образующая $C C_{1}$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому отрезок $B C$ — проекция наклонной $B C_{1}$ на эту плоскость. Прямая $A B$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $B C$ . По теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной: $A B ⊥ B C_{1}$ . Значит, $∠ A B C_{1} = 9 0^{\circ}$ , что и требовалось доказать.

б) Образующие $B B_{1}$ и $C C_{1}$ параллельны и равны, поэтому $B B_{1} C_{1} C$ — параллелограмм. Его угол $B_{1} B C$ прямой, так как $B B_{1}$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $B B_{1} C_{1} C$ — прямоугольник, и

$B C = B_{1} C_{1} = 16, C C_{1} = B B_{1} = 12.$

Рисунок к решению

Треугольник $B C C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $C$ . По теореме Пифагора

$B C_{1} = B C^{2} + C C_{1}^{2} = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 400 = 20.$

По пункту а) треугольник $A B C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $B$ . По теореме Пифагора

$A C_{1} = A B^{2} + B C_{1}^{2} = 2 1^{2} + 2 0^{2} = 841 = 29.$

Расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ — это длина перпендикуляра $B H$ к этой прямой, то есть высота прямоугольного треугольника $A B C_{1}$ , проведённая к гипотенузе. Запишем площадь треугольника двумя способами: $\frac{1}{2} A B \cdot B C_{1} = \frac{1}{2} A C_{1} \cdot B H$ . Отсюда

$B H = \frac{A B \cdot B C _{1}}{A C _{1}} = \frac{21 \cdot 20}{29} = \frac{420}{29} .$

Ответ: б) $\frac{420}{29}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15