ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований, $O{O}_1$ — ось цилиндра. Прямые $A{C}_1$ и $O{O}_1$ пересекаются, поэтому через них проходит плоскость $\beta$.

Проведём через $C_1$ образующую $C_{1}C$. Она параллельна оси и проходит через точку $C_1$ плоскости $\beta$, поэтому лежит в $\beta$. Плоскость $\beta$ пересекает плоскость нижнего основания по прямой $AO$, значит, точка $C$ лежит на прямой $AO$ и на окружности основания. Таких точек две: $A$ и точка, диаметрально противоположная $A$. Точка $C$ не совпадает с $A$: иначе $A{C}_1$ была бы образующей, параллельной оси, и не пересекала бы её. Следовательно, $AC$ — диаметр основания.

Точка $C$ отлична от $B$, так как $C_1\ne B_1$. Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$, поэтому $\angle ABC=90^{\circ }$, то есть $AB\perp BC$.

Образующая $C{C}_1$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $BC$ — проекция наклонной $B{C}_1$ на эту плоскость. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $BC$, значит, по теореме о трёх перпендикулярах $AB\perp B{C}_1$. Итак, $\angle AB{C}_1=90^{\circ }$. Что и требовалось доказать.

б) Образующие $B{B}_1$ и $C{C}_1$ параллельны и равны, а $B{B}_1\perp BC$. Поэтому $B{B}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник, и $BC=B_1{C}_1=10$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора найдём диаметр основания:

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{49+100}=\sqrt{149},r^2=\frac{A{C}^2}{4}=\frac{149}{4}.$$

Высота цилиндра равна образующей: $h=B{B}_1=24$. Тогда

$$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot \frac{149}{4}\cdot 24=894\pi .$$

Ответ: б) $894\pi$.