ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина $AC$. В треугольнике $SAC$ точки $O$ и $M$ — середины сторон $AC$ и $SC$, значит, $OM$ — средняя линия и $OM\parallel SA$.

Прямая $OM$ лежит в плоскости $OMK$. Покажем, что $SA$ в этой плоскости не лежит. Точка $K$ не принадлежит плоскости $SAC$: эта плоскость пересекает основание по прямой $AC$, а $K$ лежит на $BC$ и отлична от $C$. Значит, плоскости $OMK$ и $SAC$ различны и пересекаются по прямой $OM$. Если бы $SA$ лежала в плоскости $OMK$, она лежала бы в обеих плоскостях и совпадала бы с $OM$, а это невозможно, так как $SA\parallel OM$ и это разные прямые.

По признаку параллельности прямой и плоскости $SA\parallel (OMK)$. Что и требовалось доказать.

б) Прямая $KO$ лежит в плоскости основания; пусть она пересекает $AD$ в точке $E$. Треугольники $AEO$ и $CKO$ равны по стороне и двум прилежащим углам: $AO=OC$, $\angle EAO=\angle KCO$ как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AC$, $\angle AOE=\angle COK$ как вертикальные. Поэтому $AE=CK$.

Из $BC=2$ и $BK:KC=3:1$ получаем $CK=\frac{1}{2}$, значит,

$$AE=\frac{1}{2},DE=AD-AE=\frac{3}{2}.$$

Плоскость $SAD$ проходит через прямую $SA$, параллельную плоскости $OMK$, и имеет с этой плоскостью общую точку $E$. Значит, плоскости пересекаются по прямой, проходящей через $E$ параллельно $SA$. Пусть она пересекает ребро $SD$ в точке $F$. Тогда $EF$ — отрезок, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

Так как $EF\parallel SA$, треугольники $DEF$ и $DAS$ подобны по двум углам:

$$\frac{EF}{SA}=\frac{DE}{DA}=\frac{3/2}{2}=\frac{3}{4}.$$

Найдём боковое ребро. Половина диагонали квадрата $AO=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$, а $SO$ — высота пирамиды, поэтому по теореме Пифагора в треугольнике $ASO$

$$SA=\sqrt{A{O}^2+S{O}^2}=\sqrt{2+14}=4.$$

Тогда $EF=\frac{3}{4}\cdot 4=3$.

Ответ: б) $3$.