ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пирамида правильная, поэтому проекция вершины $S$ на плоскость $ABC$ — центр $O$ правильного треугольника $ABC$, и $SO\perp (ABC)$. Проекция отрезка $AS$ — отрезок $AO$.

Точка $N$ лежит на $SC$, то есть в плоскости $SOC$. Проведём $N{N}^{\prime }\parallel SO$, $N^{\prime }\in OC$. Тогда $N{N}^{\prime }\perp (ABC)$, и $N^{\prime }$ — проекция точки $N$. В треугольнике $SOC$ отрезок $N{N}^{\prime }$ проходит через середину стороны $SC$ параллельно $SO$, поэтому это средняя линия, и $N^{\prime }$ — середина $OC$. Точка $M$ лежит в плоскости основания, поэтому проекция отрезка $MN$ — отрезок $M{N}^{\prime }$.

Центр $O$ правильного треугольника — точка пересечения медиан, он лежит на медиане $CM$ и делит её в отношении $CO:OM=2:1$. Тогда

$$CO=\frac{2}{3}CM,OM=\frac{1}{3}CM,O{N}^{\prime }=\frac{1}{2}CO=\frac{1}{3}CM.$$

Значит, $M{N}^{\prime }=MO+O{N}^{\prime }=\frac{2}{3}CM=CO$.

Центр правильного треугольника равноудалён от вершин (это центр описанной окружности), поэтому $CO=AO$. Итак, $M{N}^{\prime }=AO$: проекции отрезков $MN$ и $AS$ на плоскость $ABC$ равны. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $\alpha =\angle SCO$. Точка $N$ лежит на $CS$, а точка $M$ — на луче $CO$, поэтому $\angle NCM=\alpha$.

Из прямоугольного треугольника $SOC$ (угол $O$ прямой)

$$CO=SC\cdot \cos \alpha =8\cos \alpha ,CM=\frac{3}{2}CO=12\cos \alpha .$$

Кроме того, $CN=\frac{1}{2}SC=4$.

Запишем теорему косинусов для угла $C$ треугольника $MNC$:

$$M{N}^2=C{N}^2+C{M}^2-2\cdot CN\cdot CM\cdot \cos \alpha ;$$

$$25=16+144{\cos }^2\alpha -2\cdot 4\cdot 12\cos \alpha \cdot \cos \alpha \iff 9=48{\cos }^2\alpha \iff {\cos }^2\alpha =\frac{3}{16}.$$

Угол $\alpha$ острый (это угол прямоугольного треугольника), поэтому $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{4}$. Тогда

$$CM=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3},CO=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}.$$

Медиана правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, поэтому сторона основания

$$AB=\frac{2CM}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6.$$

Высоту пирамиды найдём по теореме Пифагора из треугольника $SOC$:

$$SO=\sqrt{S{C}^2-C{O}^2}=\sqrt{64-12}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}.$$

Проверим найденное с помощью пункта а): $M{N}^{\prime }=AO=CO=2\sqrt{3}$, $N{N}^{\prime }=\frac{1}{2}SO=\sqrt{13}$, и по теореме Пифагора $M{N}^2=M{N}^{\prime 2}+N{N}^{\prime 2}=12+13=25$, то есть $MN=5$, как в условии.

Площадь правильного треугольника со стороной $6$ равна $\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$. Объём пирамиды

$$V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{13}=6\sqrt{39}.$$

Ответ: б) $6\sqrt{39}$.