На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

На рёбрах $A C$ , $A D$ , $B D$ и $B C$ тетраэдра $A B C D$ отмечены точки $K$ , $L$ , $M$ и $N$ соответственно, причём $A K : K C = 2 : 3$ . Четырёхугольник $K L M N$ — квадрат со стороной 2.

а) Докажите, что прямые $A B$ и $C D$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $K L M$ , если объём тетраэдра $A B C D$ равен 25.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Квадрат KLMN в тетраэдре ABCD

а) Стороны квадрата $K N$ и $L M$ параллельны. Прямая $K N$ лежит в плоскости $A B C$ , а прямая $L M$ в ней не лежит (точки $L$ и $M$ — внутренние точки рёбер $A D$ и $B D$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $L M ∥ (A B C)$ .

Плоскость $A B D$ проходит через прямую $L M$ , параллельную плоскости $A B C$ , и пересекает эту плоскость по прямой $A B$ . Значит, линия пересечения параллельна $L M$ : $L M ∥ A B$ . Тогда и $K N ∥ A B$ .

Точно так же $K L ∥ M N$ , прямая $M N$ лежит в плоскости $B C D$ , поэтому $K L ∥ (B C D)$ . Плоскость $A C D$ проходит через $K L$ и пересекает плоскость $B C D$ по прямой $C D$ , значит, $K L ∥ C D$ .

Угол между прямыми $A B$ и $C D$ равен углу между параллельными им прямыми $K N$ и $K L$ , а это угол квадрата, $9 0^{\circ}$ . Следовательно, $A B ⊥ C D$ . Что и требовалось доказать.

б) Так как $K L ∥ C D$ , треугольник $A K L$ подобен треугольнику $A C D$ с коэффициентом $\frac{A K}{A C} = \frac{2}{5}$ . Поэтому

$C D = \frac{5}{2} K L = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5.$

Так как $M N ∥ C D$ , треугольник $B M N$ подобен треугольнику $B D C$ с коэффициентом $\frac{M N}{D C} = \frac{2}{5}$ . Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента:

$S_{B M N} = (\frac{2}{5})^{2} S_{B C D} = \frac{4}{25} S_{B C D} .$

Точка $K$ лежит на ребре $A C$ , а точка $C$ — в плоскости $B C D$ . Перпендикуляры из $A$ и $K$ к этой плоскости образуют подобные прямоугольные треугольники с общим углом при вершине $C$ , поэтому расстояние от $K$ до плоскости $B C D$ составляет $\frac{C K}{C A} = \frac{3}{5}$ расстояния от $A$ .

Найдём объём пирамиды $K B M N$ с основанием $B M N$ в плоскости $B C D$ :

$V_{K B M N} = \frac{1}{3} \cdot S_{B M N} \cdot \frac{3}{5} d_{A} = \frac{4}{25} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} S_{B C D} \cdot d_{A} = \frac{12}{125} V_{A B C D} = \frac{12}{125} \cdot 25 = \frac{12}{5},$

где $d_{A}$ — расстояние от $A$ до плоскости $B C D$ .

Плоскость $K L M$ — это плоскость квадрата, она же плоскость $K M N$ . Искомое расстояние $h$ от $B$ до неё — высота той же пирамиды, если считать её основанием треугольник $K M N$ . Его площадь равна половине площади квадрата:

$S_{K M N} = \frac{1}{2} \cdot K N \cdot M N = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2.$

Тогда

$V_{B K M N} = \frac{1}{3} S_{K M N} \cdot h \Leftrightarrow h = \frac{3 V _{B K M N}}{S _{K M N}} = \frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2} = \frac{18}{5} .$

Рисунок к решению

Ответ: б) $\frac{18}{5}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15