Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

Основанием четырёхугольной пирамиды $P A B C D$ является трапеция $A B C D$ , причём $∠ B A D + ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ . Плоскости $P A B$ и $P C D$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $A B$ и $C D$ .

а) Докажите, что плоскости $P A B$ и $P C D$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды $K B C P$ , если $A B = B C = C D = 4$ , а высота пирамиды $P A B C D$ равна 9.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пирамида PABCD, высота PK вне основания

а) Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются, значит, это не основания трапеции, а боковые стороны, и основания — $B C ∥ A D$ . Сумма углов $B A D$ и $A D C$ при основании $A D$ равна $9 0^{\circ} < 18 0^{\circ}$ , поэтому лучи $A B$ и $D C$ сходятся за точками $B$ и $C$ и пересекаются в точке $K$ .

В треугольнике $A K D$ углы при вершинах $A$ и $D$ равны $∠ B A D$ и $∠ A D C$ , поэтому по теореме о сумме углов треугольника

$∠ A K D = 18 0^{\circ} - (∠ B A D + ∠ A D C) = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$

Точка $K$ лежит на прямой $A B$ и на прямой $C D$ , то есть в обеих плоскостях $P A B$ и $P C D$ . Точка $P$ тоже общая, значит, эти плоскости пересекаются по прямой $P K$ . Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то и прямая их пересечения перпендикулярна этой плоскости. Поэтому $P K ⊥ (A B C)$ , и $P K ⊥ K A$ .

Итак, прямая $K A$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $K D$ и $K P$ плоскости $P C D$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $K A ⊥ (P C D)$ . Плоскость $P A B$ проходит через прямую $K A$ , перпендикулярную плоскости $P C D$ , поэтому по признаку перпендикулярности плоскостей $(P A B) ⊥ (P C D)$ . Что и требовалось доказать.

б) Боковые стороны трапеции равны: $A B = C D = 4$ , значит, трапеция равнобедренная, и углы при основании $A D$ равны. Их сумма $9 0^{\circ}$ , поэтому $∠ B A D = ∠ A D C = 4 5^{\circ}$ .

Так как $B C ∥ A D$ , соответственные углы равны: $∠ K B C = ∠ K A D = 4 5^{\circ}$ и $∠ K C B = ∠ K D A = 4 5^{\circ}$ . Значит, треугольник $B K C$ прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $B C = 4$ :

$B K = K C = \frac{B C}{2} = \frac{4}{2} = 22, S_{B K C} = \frac{1}{2} \cdot B K \cdot K C = \frac{1}{2} \cdot (22)^{2} = 4.$

Рисунок к решению

В пункте а) мы доказали, что $P K ⊥ (A B C)$ , поэтому $P K$ — высота пирамиды $P A B C D$ , и $P K = 9$ . Пирамида $K B C P$ имеет основание $B K C$ в плоскости $A B C$ и вершину $P$ , её высота — тот же отрезок $P K$ . Тогда

$V_{K B C P} = \frac{1}{3} \cdot S_{B K C} \cdot P K = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 9 = 12.$

Ответ: б) $12$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15