ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть $H$ — середина медианы $CM$, тогда по условию $SH$ — высота пирамиды.

Треугольник $SAB$ равнобедренный ($SA=SB$), а $SM$ — его медиана, проведённая к основанию. Значит, $SM$ — и высота: $SM\perp AB$.

Высота $SH$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а значит, любой прямой этой плоскости, в частности $SH\perp AB$.

Точка $H$ — середина $CM$, поэтому $H\ne M$, и прямые $SM$ и $SH$ различны и пересекаются в точке $S$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $SMH$, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp (SMH)$. Тогда $AB$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности прямой $MH$, которая совпадает с прямой $CM$.

Итак, в треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является и высотой. Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный: $CA=CB$. Что и требовалось доказать.

б) Высота $SH$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольники $SHC$ и $SHB$ прямоугольные с прямым углом $H$. По теореме Пифагора

$$HC=\sqrt{S{C}^2-S{H}^2}=\sqrt{{\left(5\sqrt{10}\right)}^2-15^2}=\sqrt{250-225}=5,$$

$$HB=\sqrt{S{B}^2-S{H}^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=8.$$

Точка $H$ — середина $CM$, поэтому $MH=HC=5$ и $CM=10$.

В пункте а) мы доказали, что $MH\perp AB$, поэтому треугольник $MHB$ прямоугольный с прямым углом $M$. По теореме Пифагора

$$MB=\sqrt{H{B}^2-M{H}^2}=\sqrt{64-25}=\sqrt{39},AB=2MB=2\sqrt{39}.$$

Медиана $CM$ — высота треугольника $ABC$, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{39}\cdot 10=10\sqrt{39}.$$

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

$$V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{39}\cdot 15=50\sqrt{39}.$$

Ответ: б) $50\sqrt{39}$.