В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 4. Точка K… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ все рёбра равны 4. Точка K — середина ребра $A_{1} B_{1}$ .

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $A K C$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $A K C$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Сечение AKLC — равнобедренная трапеция

а) Плоскость $A K C$ содержит прямую $A C$ нижнего основания. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, а две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Значит, плоскость $A K C$ пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через $K$ параллельно $A C$ . Так как $A_{1} C_{1} ∥ A C$ , эта прямая параллельна $A_{1} C_{1}$ .

В треугольнике $A_{1} B_{1} C_{1}$ прямая, проходящая через середину $K$ стороны $A_{1} B_{1}$ параллельно $A_{1} C_{1}$ , по теореме Фалеса пересекает сторону $B_{1} C_{1}$ в её середине $L$ . Тогда $K L$ — средняя линия этого треугольника:

$K L = \frac{A _{1} C _{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2.$

Плоскость пересекает грани призмы по отрезкам $A K$ , $K L$ , $L C$ и $C A$ , поэтому сечение — четырёхугольник $A K L C$ .

В нём $K L ∥ A C$ , а $K L = 2 \neq = 4 = A C$ . Если бы и $A K ∥ L C$ , то $A K L C$ был бы параллелограммом и $K L = A C$ . Значит, у четырёхугольника ровно одна пара параллельных сторон, и $A K L C$ — трапеция с основаниями $K L$ и $A C$ .

Найдём боковые стороны. Призма правильная, значит прямая: боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Поэтому треугольники $A A_{1} K$ и $C C_{1} L$ прямоугольные с прямыми углами $A_{1}$ и $C_{1}$ , и по теореме Пифагора

$A K = A A_{1}^{2} + A_{1} K^{2} = 16 + 4 = 25, C L = C C_{1}^{2} + C_{1} L^{2} = 16 + 4 = 25 .$

Боковые стороны трапеции равны, значит, сечение — равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.

б) Пусть $E$ — середина ребра $A B$ . Прямая $A B$ пересекает плоскость $A K C$ в точке $A$ , и $A B = 2 A E$ . Перпендикуляры, опущенные из $B$ и $E$ на плоскость, параллельны и вместе с отрезками $A B$ и $A E$ образуют подобные прямоугольные треугольники с общим углом при вершине $A$ . Поэтому расстояние от $B$ до плоскости вдвое больше расстояния от $E$ .

Отрезок $K E$ соединяет середины противоположных сторон прямоугольника $A A_{1} B_{1} B$ , поэтому $K E ∥ A A_{1}$ , $K E = 4$ и $K E ⊥ (A B C)$ . То есть $E$ — проекция точки $K$ на основание.

Проведём в основании $E F ⊥ A C$ , $F \in A C$ . В прямоугольном треугольнике $A E F$ угол $A$ равен $6 0^{\circ}$ , поэтому

$E F = A E \cdot sin 6 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3 .$

Отрезок $E F$ — проекция наклонной $K F$ на плоскость основания, и $E F ⊥ A C$ . По теореме о трёх перпендикулярах $K F ⊥ A C$ . Кроме того, $A C ⊥ E F$ и $A C ⊥ K E$ , а эти прямые пересекаются, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A C ⊥ (K E F)$ .

В прямоугольном треугольнике $K E F$ (угол $E$ прямой) проведём высоту $E T$ к гипотенузе $K F$ . Тогда $E T ⊥ K F$ , а также $E T ⊥ A C$ , так как $E T$ лежит в плоскости $K E F$ , перпендикулярной $A C$ . Прямые $K F$ и $A C$ пересекаются и лежат в плоскости $A K C$ , поэтому $E T ⊥ (A K C)$ , и $E T$ — расстояние от $E$ до плоскости.

Гипотенуза $K F = K E^{2} + E F^{2} = 16 + 3 = 19$ . Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:

$E T = \frac{K E \cdot E F}{K F} = \frac{4 3}{19} .$

Тогда расстояние от $B$ до плоскости $A K C$ равно

$2 E T = \frac{8 3}{19} = \frac{8 57}{19} .$

Проверим через объём. Объём пирамиды $K A B C$ равен $\frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot K E = \frac{1}{3} \cdot \frac{16 3}{4} \cdot 4 = \frac{16 3}{3}$ , а площадь треугольника $A K C$ равна $\frac{1}{2} \cdot A C \cdot K F = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 19 = 219$ . Расстояние от $B$ до плоскости $A K C$ — высота этой пирамиды, опущенная из $B$ :

$\frac{3 V}{S _{A K C}} = \frac{16 3}{2 19} = \frac{8 3}{19}$

— результат совпал.

Ответ: б) $\frac{8 57}{19}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15