Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . Высота пирамиды проходит через точку . Точки и — середины рёбер и соответственно.
а) Докажите, что является биссектрисой угла .
б) Найдите угол между прямыми и , если , .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Точка — середина , поэтому — медиана треугольника . Медиана является биссектрисой в равнобедренном треугольнике, если она проведена к основанию. Значит, достаточно доказать, что .
По условию — высота пирамиды, то есть . Тогда перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности . Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом , а — его медиана, проведённая к гипотенузе . Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:
Теперь рассмотрим треугольник . Так как , отрезок — проекция наклонной на плоскость основания. По условию , то есть прямая , лежащая в плоскости основания, перпендикулярна проекции . По теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярна и самой наклонной: .
Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом , и его медиана , проведённая к гипотенузе , тоже равна её половине:
Итак, , треугольник равнобедренный с основанием , а его медиана является и биссектрисой угла . Что и требовалось доказать.
б) Пусть — середина ребра .
В треугольнике точки и — середины сторон и , поэтому — средняя линия:
Так как , угол между прямыми и равен углу между прямыми и .
Прямая перпендикулярна плоскости , а если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая ей перпендикулярна. Значит, , и перпендикулярна прямой , лежащей в этой плоскости. Треугольник прямоугольный с прямым углом , а угол между прямыми и — это его острый угол .
В треугольнике точки и — середины сторон и , поэтому — средняя линия:
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
Искомый угол равен .
Ответ: б) .