В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 8, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2020 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ сторона $A B$ основания равна 8, а боковое ребро $A A_{1}$ равно 7. На ребре $C C_{1}$ отмечена точка $M,$ причем $C M = 1.$

а) Точки $O$ и $O_{1}$ — центры окружностей, описанных около треугольников $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ соответственно. Докажите, что прямая $O O_{1}$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A B M .$

б) Найдите расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $(A B M) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $N$ — середина $A B$ , а $S$ — точка пересечения медиан треугольника $A B M$ . Отрезок $M N$ — медиана этого треугольника, и по свойству медиан $M S : S N = 2 : 1$ .

Треугольник $A B C$ равносторонний, поэтому центр $O$ описанной около него окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Он лежит на медиане $C N$ и делит её в отношении $C O : O N = 2 : 1$ .

Рассмотрим плоскость $(C M N)$ — в ней лежат точки $C$ , $M$ , $N$ , $O$ , $S$ . В треугольнике $C M N$ точки $S$ и $O$ делят стороны $N M$ и $N C$ в одном отношении:

$\frac{N S}{N M} = \frac{N O}{N C} = \frac{1}{3} .$

Треугольники $N S O$ и $N M C$ имеют общий угол $N$ и пропорциональные стороны, поэтому подобны, и $∠ N O S = ∠ N C M$ . Это соответственные углы, значит, $S O ∥ C M$ , то есть $S O ∥ C C_{1}$ .

Отрезок $O O_{1}$ , соединяющий центры оснований правильной призмы, параллелен её боковым рёбрам: $O O_{1} ∥ C C_{1}$ . Через точку $O$ проходит только одна прямая, параллельная $C C_{1}$ , поэтому прямые $O S$ и $O O_{1}$ совпадают. Значит, $S \in O O_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $L$ — середина $A_{1} B_{1}$ . Прямая $A_{1} B_{1}$ параллельна прямой $A B$ , лежащей в плоскости $(A B M)$ , поэтому $A_{1} B_{1} ∥ (A B M)$ . Все точки прямой, параллельной плоскости, находятся от неё на одном расстоянии, поэтому расстояние от $A_{1}$ до плоскости $(A B M)$ равно расстоянию от $L$ до этой плоскости.

Отрезок $N L$ соединяет середины рёбер $A B$ и $A_{1} B_{1}$ , он параллелен боковым рёбрам и равен им: $N L ∥ C C_{1}$ , $N L = 7$ . Значит, точка $L$ лежит в плоскости $(C C_{1} N)$ , и $C N L C_{1}$ — прямоугольник.

Опустим в плоскости $(C C_{1} N)$ перпендикуляр $L H$ на прямую $M N$ . Докажем, что $L H ⊥ (A B M)$ . Прямая $A B$ перпендикулярна $C N$ (медиана равностороннего треугольника является высотой) и перпендикулярна $C C_{1}$ (призма прямая). Значит, $A B ⊥ (C C_{1} N)$ , и $A B$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $A B ⊥ L H$ . Итак, $L H ⊥ M N$ и $L H ⊥ A B$ — двум пересекающимся прямым плоскости $(A B M)$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $L H ⊥ (A B M)$ , и длина $L H$ — искомое расстояние.

Медиана равностороннего треугольника со стороной 8:

$C N = \frac{8 3}{2} = 43 .$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $M C N$ (угол $C$ прямой):

$M N = C M^{2} + C N^{2} = 1 + 48 = 49 = 7.$

В плоскости $(C C_{1} N)$ прямые $L N$ и $C C_{1}$ параллельны, поэтому накрест лежащие углы $L N M$ и $N M C$ при секущей $M N$ равны. Прямоугольные треугольники $N L H$ (прямой угол $H$ ) и $M N C$ (прямой угол $C$ ) имеют равные гипотенузы $L N = 7$ и $M N = 7$ и равные острые углы $∠ L N H = ∠ N M C$ . Значит, они равны по гипотенузе и острому углу. Катет $L H$ лежит против угла $L N H$ , а катет $N C$ — против равного ему угла $N M C$ , поэтому

$L H = N C = 43 .$

Ответ: б) $43$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15