В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно. На продолжении ребра за точку отмечена точка . Прямые и пересекают рёбра и в точках и соответственно, причём .
а) Докажите, что отрезки и пересекаются.
б) Найдите отношение .
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Точки и лежат на прямой , точки и — на прямой . Эти прямые пересекаются в точке и задают плоскость , поэтому все четыре точки , , , лежат в этой плоскости.
Выясним, как расположены точки. В плоскости точка лежит на продолжении ребра за , поэтому и лежат по разные стороны от прямой . Точка — середина — лежит по ту же сторону от , что и . Значит, отрезок пересекает прямую , и точка пересечения — это : точка лежит между и .
Аналогично в плоскости точки и лежат по разные стороны от прямой , а точка ребра — по ту же сторону, что и . Значит, отрезок пересекает прямую в точке , и лежит между и .
Итак, в треугольнике точка лежит на стороне , а точка — на стороне . Отрезок отсекает от этого треугольника треугольник , остаётся выпуклый четырёхугольник . Отрезки и — его диагонали, а диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Значит, отрезки и пересекаются. Что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся теоремой Менелая: если прямая пересекает прямые, содержащие стороны треугольника, то произведение трёх отношений, в которых точки пересечения делят стороны (при обходе вершин по кругу), равно 1.
Из условия получаем , а , так как — середина .
Теорема Менелая для треугольника и прямой :
Теорема Менелая для треугольника и прямой ( — середина , ):
Значит, .
Ответ: б) .