В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 40, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 40, а боковое ребро $S A$ равно 35. На рёбрах $A B$ и $S B$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 10,$ $S K = 5.$ Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и содержит точки $M$ и $K .$

a) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $C .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Из условия $M B = A B - A M = 40 - 10 = 30$ и $K B = S B - S K = 35 - 5 = 30$ (боковые рёбра правильной пирамиды равны, $S B = S A = 35$ ).

Пусть $S H$ — высота пирамиды. Пирамида правильная, поэтому $H$ — центр квадрата, то есть точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ . Проведём в плоскости $(B S D)$ через точку $K$ прямую $K O ∥ S H$ , где $O$ — точка на отрезке $B H$ . Так как $S H ⊥ (A B C)$ , то и параллельная ей прямая $K O ⊥ (A B C)$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и проходит через $K$ . Прямая, проведённая через точку одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно другой плоскости, лежит в первой плоскости. Поэтому $K O \subset α$ , и точка $O$ лежит в $α$ . Точки $M$ и $O$ лежат и в плоскости $α$ , и в плоскости основания, значит, $α$ пересекает основание по прямой $M O$ .

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $S B H$ и параллельных прямых $K O$ и $S H$ :

$\frac{B O}{O H} = \frac{B K}{K S} = \frac{30}{5} = \frac{6}{1} .$

Пусть $B O = 6 x$ , $O H = x$ . Тогда $B H = 7 x$ , и так как $H$ — середина $B D$ , $H D = 7 x$ , откуда $O D = O H + H D = 8 x$ . Значит,

$\frac{B O}{O D} = \frac{6 x}{8 x} = \frac{3}{4} = \frac{30}{40} = \frac{B M}{D C} .$

Рассмотрим треугольники $O B M$ и $O D C$ . Углы $O B M$ и $O D C$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ , $C D$ и секущей $B D$ , а стороны, образующие эти углы, пропорциональны. Значит, треугольники подобны по второму признаку, и $∠ B O M = ∠ D O C$ .

Точки $B$ , $O$ , $D$ лежат на одной прямой, а точки $M$ и $C$ — по разные стороны от неё (точка $M$ — на стороне $A B$ , по ту же сторону от диагонали $B D$ , что и $A$ ). Поэтому равные углы $B O M$ и $D O C$ вертикальные, и точки $M$ , $O$ , $C$ лежат на одной прямой. Значит, точка $C$ лежит на прямой $M O \subset α$ , то есть плоскость $α$ содержит точку $C$ . Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ пересекает основание по отрезку $M C$ , грань $S A B$ — по отрезку $M K$ , грань $S B C$ — по отрезку $K C$ . Значит, сечение — треугольник $C K M$ .

Так как $K O ⊥ (A B C)$ , прямая $K O$ перпендикулярна прямой $C M$ , лежащей в этой плоскости, и $O \in C M$ . Значит, $K O$ — высота треугольника $C K M$ , и

$S_{C K M} = \frac{1}{2} \cdot K O \cdot C M .$

Треугольник $M B C$ прямоугольный (угол $B$ квадрата прямой), по теореме Пифагора

$C M = B M^{2} + B C^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 2500 = 50.$

Диагональ квадрата $A C = 402$ , поэтому $A H = 202$ , $A H^{2} = 800$ . По теореме Пифагора для треугольника $S H A$ :

$S H = S A^{2} - A H^{2} = 1225 - 800 = 425 = 517 .$

Треугольники $B K O$ и $B S H$ подобны ( $K O ∥ S H$ ) с коэффициентом $\frac{B K}{B S} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}$ , поэтому

$K O = \frac{6}{7} \cdot S H = \frac{30 17}{7} .$

Тогда площадь сечения

$S_{C K M} = \frac{1}{2} \cdot \frac{30 17}{7} \cdot 50 = \frac{750 17}{7} .$

Ответ: б) $\frac{750 17}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15