В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины ребер и соответственно. На продолжении ребра за точку отмечена точка Прямые и пересекают ребра и в точках и соответственно, причем
a) Докажите, что прямые и пересекаются.
б) Найдите отношение
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
а) Точки и лежат на прямой , а точки и — на прямой . Эти две прямые пересекаются в точке и задают плоскость , поэтому все четыре точки , , , лежат в этой плоскости. Значит, прямые и лежат в одной плоскости; осталось показать, что они не параллельны.
Выясним, как расположены точки на прямых. Точка лежит на продолжении ребра за точку , поэтому точки и лежат по разные стороны от прямой (в плоскости ). Точка — середина , она лежит по ту же сторону от , что и . Значит, отрезок пересекает прямую , и точка пересечения — это . Итак, лежит между и .
Точно так же в плоскости точки и лежат по разные стороны от прямой , а точка ребра — по ту же сторону, что и . Значит, отрезок пересекает прямую в точке , и лежит между и .
Рассмотрим треугольник . Точка лежит на его стороне , точка — на стороне . Отрезок отсекает от треугольника треугольник , и остаётся выпуклый четырёхугольник . Отрезки и — его диагонали, а диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются. Значит, прямые и пересекаются. Что и требовалось доказать.
б) Воспользуемся теоремой Менелая: если прямая пересекает прямые, содержащие стороны треугольника, то произведение трёх отношений, в которых точки пересечения делят стороны (при обходе вершин по кругу), равно 1.
Из условия следует , а , так как — середина .
Теорема Менелая для треугольника и прямой :
Теорема Менелая для треугольника и прямой ( — середина , поэтому ):
Значит, .
Ответ: б) .