ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Пусть $L$ и $N$ — середины рёбер $AC$ и $BD$.

В треугольнике $ACD$ точки $M$ и $L$ — середины сторон $CD$ и $AC$, поэтому $ML$ — средняя линия: $ML\parallel AD$ и $ML=\frac{AD}{2}$. В треугольнике $ABD$ точки $K$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BD$, поэтому $KN$ — средняя линия: $KN\parallel AD$ и $KN=\frac{AD}{2}$.

Прямые $ML$ и $KN$ параллельны (обе параллельны $AD$), а через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Значит, точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит прямую $KM$ и прямую $ML$, параллельную $AD$, а сама прямая $AD$ в ней не лежит: иначе плоскость содержала бы точки $A$, $D$ и $K$, то есть совпадала бы с плоскостью грани $ABD$, а точка $L$ в этой грани не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости эта плоскость параллельна $AD$. Прямые $KM$ и $AD$ скрещиваются, а через одну из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой. Следовательно, это и есть плоскость $\alpha$.

Плоскость $\alpha$ пересекает грани $ABC$, $ACD$, $BCD$, $ABD$ по отрезкам $KL$, $LM$, $MN$, $NK$, поэтому сечение — четырёхугольник $KLMN$. Каждая его сторона — средняя линия грани:

$$KL=\frac{BC}{2},LM=\frac{AD}{2},MN=\frac{BC}{2},NK=\frac{AD}{2}.$$

Тетраэдр правильный, все его рёбра равны, поэтому все стороны четырёхугольника $KLMN$ равны, и $KLMN$ — ромб.

Докажем, что диагонали ромба $KM$ и $LN$ равны. Рассмотрим треугольники $BLD$ и $CKD$. Сторона $BD$ равна стороне $CD$ как рёбра правильного тетраэдра. Отрезки $BL$ и $DL$ — медианы равносторонних треугольников $ABC$ и $ACD$, а $CK$ и $DK$ — медианы равносторонних треугольников $ABC$ и $ABD$; все грани равны, поэтому $BL=DL=CK=DK$. Значит, треугольники $BLD$ и $CKD$ равны по трём сторонам.

В равных треугольниках равны и соответствующие медианы. Отрезок $LN$ — медиана треугольника $BLD$, проведённая к стороне $BD$, а $KM$ — медиана треугольника $CKD$, проведённая к соответствующей стороне $CD$. Поэтому $LN=KM$.

Ромб с равными диагоналями — квадрат. Значит, сечение $KLMN$ — квадрат. Что и требовалось доказать.

б) Отрезок $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому

$$KL=\frac{BC}{2}=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

$$S_{KLMN}=K{L}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2=3.$$

Ответ: б) $3$.