ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $SB$ и $AC$ в точках $L$ и $N$.

Плоскость $(SAB)$ проходит через прямую $SA$, параллельную $\alpha$, и имеет с $\alpha$ общую точку $K$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Значит, $\alpha$ пересекает грань $SAB$ по отрезку $KL\parallel SA$. Точно так же плоскость $(SAC)$ проходит через $SA$ и точку $M$, поэтому $\alpha$ пересекает грань $SAC$ по отрезку $MN\parallel SA$.

По теореме о пропорциональных отрезках: в треугольнике $SAB$ прямая $KL$ параллельна стороне $SA$, поэтому $SL:LB=AK:KB=5:1$; в треугольнике $SAC$ прямая $MN$ параллельна $SA$, поэтому $AN:NC=SM:MC=5:1$.

В треугольнике $ABC$ имеем $AK:AB=AN:AC=5:6$, и угол $A$ общий у треугольников $AKN$ и $ABC$. Они подобны по второму признаку, откуда $\angle AKN=\angle ABC$ и $KN\parallel BC$ (соответственные углы). Точно так же в треугольнике $SBC$ из $SL:SB=SM:SC=5:6$ получаем $LM\parallel BC$.

Сечение — четырёхугольник $KLMN$: его стороны $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ лежат в гранях $SAB$, $SBC$, $SAC$, $ABC$. Противоположные стороны попарно параллельны: $KL\parallel MN$ (обе параллельны $SA$) и $KN\parallel LM$ (обе параллельны $BC$). Значит, $KLMN$ — параллелограмм.

Докажем, что $SA\perp BC$. Пусть $H$ — середина $BC$. Пирамида правильная, поэтому $SB=SC$ и в равнобедренном треугольнике $SBC$ медиана $SH$ — высота: $SH\perp BC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AH$ тоже высота: $AH\perp BC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BC\perp (SAH)$, а прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности $BC\perp SA$.

Стороны $KL$ и $KN$ параллелограмма параллельны прямым $SA$ и $BC$, поэтому угол между ними равен углу между $SA$ и $BC$, то есть $90^{\circ }$. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

б) Пирамида $AKLMN$ имеет основание $KLMN$, а её высота — расстояние $h$ от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Найдём стороны прямоугольника. Треугольник $AKN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{5}{6}$, поэтому

$$KN=\frac{5}{6}\cdot BC=\frac{5}{6}\cdot 6=5.$$

Треугольник $BKL$ подобен треугольнику $BAS$ ($KL\parallel AS$) с коэффициентом $\frac{BK}{BA}=\frac{1}{6}$, поэтому

$$KL=\frac{1}{6}\cdot SA=\frac{5}{6},S_{KLMN}=KN\cdot KL=5\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{6}.$$

Найдём $h$. Прямая $KN$ параллельна $BC$, а $BC\perp (SAH)$, поэтому $KN\perp (SAH)$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $KN$, перпендикулярную плоскости $(SAH)$, значит, по признаку перпендикулярности плоскостей $\alpha \perp (SAH)$.

Пусть плоскость $(SAH)$ пересекает отрезки $KN$ и $LM$ в точках $E$ и $F$ ($E$ лежит на $AH$, $F$ — на $SH$). Тогда $EF$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $(SAH)$. Проведём в плоскости $(SAH)$ перпендикуляр $AT$ к прямой $EF$. Прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости, поэтому $AT\perp \alpha$ и $h=AT$.

Прямая $SA$ параллельна $\alpha$, а плоскость $(SAH)$ проходит через $SA$ и пересекает $\alpha$ по прямой $EF$, поэтому $EF\parallel SA$. Расстояние между параллельными прямыми одинаково для всех их точек, значит, $AT$ равно расстоянию от точки $E$ до прямой $SA$:

$$h=AE\cdot \sin \angle SAE.$$

Найдём $AE$. В треугольнике $ABH$ отрезок $KE$ параллелен $BH$, поэтому $\frac{AE}{AH}=\frac{AK}{AB}=\frac{5}{6}$. Медиана равностороннего треугольника со стороной 6 равна $AH=3\sqrt{3}$, поэтому

$$AE=\frac{5}{6}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}.$$

Найдём синус угла $SAE$. Пусть $SO$ — высота пирамиды. Пирамида правильная, поэтому $O$ — центр треугольника $ABC$, он лежит на медиане $AH$ и делит её в отношении $AO:OH=2:1$:

$$AO=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$$

Точки $O$ и $E$ лежат на одном луче $AH$, поэтому $\angle SAE=\angle SAO$. Из прямоугольного треугольника $SOA$:

$$\cos \angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{2\sqrt{3}}{5},\sin \angle SAO=\sqrt{1-\frac{12}{25}}=\frac{\sqrt{13}}{5}.$$

Тогда

$$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{13}}{5}=\frac{\sqrt{39}}{2}.$$

Объём пирамиды $AKLMN$:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{KLMN}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{25}{6}\cdot \frac{\sqrt{39}}{2}=\frac{25\sqrt{39}}{36}.$$

Ответ: б) $\frac{25\sqrt{39}}{36}$.