В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M=4MA… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = 4 M A,$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все ребра призмы равны 50.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная, поэтому её основание $A_{1} B_{1} C_{1}$ — равносторонний треугольник. Точка $K$ — середина стороны $A_{1} B_{1}$ , значит, $C_{1} K$ — медиана этого треугольника, а в равностороннем треугольнике медиана является и высотой: $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Правильная призма прямая, поэтому боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости основания $A_{1} B_{1} C_{1}$ , а значит, и любой прямой этой плоскости: $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $(A B B_{1})$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B B_{1})$ и проходит через точку $K$ . Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая через точку первой плоскости перпендикулярно второй плоскости, целиком лежит в первой плоскости. Прямая $K C_{1}$ проходит через точку $K \in α$ и перпендикулярна плоскости $(A B B_{1})$ , значит, $K C_{1} \subset α$ . Следовательно, плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Построим сечение. Плоскость $α$ содержит точки $M$ , $K$ и $C_{1}$ . Она пересекает грань $A B B_{1} A_{1}$ по отрезку $M K$ , верхнее основание — по отрезку $K C_{1}$ , а грань $A A_{1} C_{1} C$ — по отрезку $M C_{1}$ (обе точки $M$ и $C_{1}$ лежат в этой грани). Эти отрезки образуют замкнутую ломаную, поэтому сечение — треугольник $M K C_{1}$ .

В пункте а) мы доказали, что $K C_{1} ⊥ (A B B_{1})$ . Прямая $M K$ лежит в этой плоскости, поэтому $K C_{1} ⊥ M K$ , и треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ . Его площадь равна половине произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Все рёбра равны 50. Точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , поэтому $A_{1} K = K B_{1} = 25$ . Из условия $A_{1} M = 4 M A$ и $A_{1} M + M A = A A_{1} = 50$ получаем $5 M A = 50$ , то есть $M A = 10$ , $A_{1} M = 40$ .

Боковая грань прямой призмы — прямоугольник, поэтому $∠ M A_{1} K = 9 0^{\circ}$ . По теореме Пифагора для треугольника $M A_{1} K$ :

$M K^{2} = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 4 0^{2} + 2 5^{2} = 1600 + 625 = 2225 = 25 \cdot 89, M K = 589 .$

В треугольнике $C_{1} A_{1} K$ угол $K$ прямой. По теореме Пифагора:

$C_{1} K^{2} = C_{1} A_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 5 0^{2} - 2 5^{2} = 2500 - 625 = 1875 = 625 \cdot 3, C_{1} K = 253 .$

Тогда площадь сечения

$S = \frac{1}{2} \cdot 589 \cdot 253 = \frac{125 267}{2} .$

Ответ: б) $\frac{125 267}{2}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15