ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Пусть $SABC$ — данная пирамида, $SH$ — её высота, $H$ — центр правильного треугольника $ABC$. Центр $O$ шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте, и шар касается основания в точке $H$; радиус шара $r=OH$.

Пусть $C_1$ — середина $AB$, тогда $C{C}_1$ — медиана и высота основания, а $S{C}_1$ — апофема грани $SAB$. Прямая $AB$ перпендикулярна $C{C}_1$ и $SH$, поэтому плоскость $SC{C}_1$ перпендикулярна $AB$, а значит, и грани $SAB$. Перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на грань $SAB$ лежит в плоскости $SC{C}_1$, и его основание $K$ лежит на апофеме $S{C}_1$; при этом $OK=r$.

Найдём размеры. Высота основания $C{C}_1=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, точка $H$ делит медиану в отношении $2:1$, поэтому $CH=2\sqrt{3}$, $H{C}_1=\sqrt{3}$. По теореме Пифагора в треугольниках $SHC$ и $SH{C}_1$:

$$SH=\sqrt{S{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{13-12}=1,S{C}_1=\sqrt{S{H}^2+H{C}_1^2}=\sqrt{1+3}=2.$$

Прямоугольные треугольники $SKO$ и $SH{C}_1$ подобны: угол $S$ общий. Так как $SO=SH-OH=1-r$, то

$$\frac{SO}{S{C}_1}=\frac{OK}{H{C}_1}\Rightarrow \frac{1-r}{2}=\frac{r}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sqrt{3}-\sqrt{3}r=2r\Rightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-3.$$

Пусть $M$ — середина высоты $SH$, $MH=\frac{1}{2}$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $SH$ и проходит через $M$, а точка $O$ лежит на $SH$, поэтому расстояние от центра шара до плоскости $\alpha$ равно $OM$.

Заметим, что $r<\frac{1}{2}$: это равносильно $2\sqrt{3}<\frac{7}{2}$, то есть $12<\frac{49}{4}$, что верно. Значит, точка $O$ лежит между $H$ и $M$, и $OM=\frac{1}{2}-r$.

Плоскость пересекает шар более чем в одной точке (по окружности), если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса. Проверим, что $OM<r$:

$$\frac{1}{2}-r<r\iff r>\frac{1}{4}\iff 2\sqrt{3}-3>\frac{1}{4}\iff 2\sqrt{3}>\frac{13}{4}\iff 8\sqrt{3}>13\iff 192>169.$$

Последнее неравенство верно, поэтому $OM<r$, и плоскость $\alpha$ пересекает шар по окружности, то есть более чем в одной точке. Что и требовалось доказать.

б) Сечение шара плоскостью $\alpha$ — круг с центром $M$ (основание перпендикуляра из центра шара на плоскость). Пусть $N$ — точка окружности сечения, тогда $ON=r$, и в прямоугольном треугольнике $OMN$ по теореме Пифагора

$$M{N}^2=O{N}^2-O{M}^2=r^2-{\left(\frac{1}{2}-r\right)}^2=r-\frac{1}{4}.$$

Подставим $r=2\sqrt{3}-3$:

$$M{N}^2=2\sqrt{3}-3-\frac{1}{4}=\frac{8\sqrt{3}-13}{4}.$$

Площадь сечения:

$$S=\pi \cdot M{N}^2=\frac{\pi \left(8\sqrt{3}-13\right)}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{\pi \left(8\sqrt{3}-13\right)}{4}$.