ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A$, $B_1$ и точку $M$ ребра $C{C}_1$. Она пересекает грани $AB{B}_1{A}_1$, $BC{C}_1{B}_1$ и $AC{C}_1{A}_1$ по отрезкам $A{B}_1$, $B_{1}M$ и $MA$, поэтому сечение — треугольник $A{B}_{1}M$.

Призма правильная, значит, она прямая и её основания — равные правильные треугольники. Ребро $C{C}_1$ перпендикулярно основаниям, поэтому треугольники $ACM$ и $B_1{C}_{1}M$ прямоугольные с прямыми углами $C$ и $C_1$.

Их катеты попарно равны: $CM=C_{1}M$, так как $M$ — середина $C{C}_1$, и $AC=B_1{C}_1$ как стороны равных правильных треугольников. Треугольники равны по двум катетам, поэтому равны их гипотенузы: $AM=B_{1}M$.

Значит, треугольник $A{B}_{1}M$ равнобедренный, что и требовалось доказать.

б) Пусть высота призмы $B{B}_1=2h$, тогда $CM=M{C}_1=h$. По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $AB{B}_1$ и $ACM$:

$$A{B}_1=\sqrt{A{B}^2+B{B}_1^2}=\sqrt{16+4h^2}=2\sqrt{4+h^2},AM=\sqrt{A{C}^2+C{M}^2}=\sqrt{16+h^2}.$$

Проведём в равнобедренном треугольнике $A{B}_{1}M$ высоту $MH$ к основанию $A{B}_1$. Она же медиана, поэтому $AH=\frac{A{B}_1}{2}=\sqrt{4+h^2}$. По теореме Пифагора в треугольнике $AHM$:

$$MH=\sqrt{A{M}^2-A{H}^2}=\sqrt{16+h^2-4-h^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$

Площадь сечения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot A{B}_1\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{4+h^2}\cdot 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{4+h^2}.$$

По условию $S=18$:

$$2\sqrt{3}\cdot \sqrt{4+h^2}=18\Rightarrow \sqrt{4+h^2}=3\sqrt{3}\Rightarrow 4+h^2=27\Rightarrow h=\sqrt{23}.$$

Высота призмы равна $2h=2\sqrt{23}$.

Ответ: б) $2\sqrt{23}$.