В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на ребрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что AM=5MA₁… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы средняя 2025 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ отметили точки $M$ и $K$ на ребрах $A A_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ соответственно. Известно, что $A M = 5 M A_{1},$ $A_{1} K = K B_{1} .$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $α$ перпендикулярно грани $A B B_{1} A_{1} .$

а) Докажите, что плоскость $α$ проходит через вершину $C_{1} .$

б) Найдите площадь сечения призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α,$ если все ребра призмы равны 12.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Призма правильная, поэтому $A_{1} B_{1} C_{1}$ — равносторонний треугольник. Точка $K$ — середина $A_{1} B_{1}$ , значит, $C_{1} K$ — медиана этого треугольника, а следовательно, и высота: $C_{1} K ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Боковое ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости верхнего основания, поэтому $A A_{1} ⊥ C_{1} K$ .

Прямая $C_{1} K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A_{1} B_{1}$ и $A A_{1}$ плоскости $A B B_{1}$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ .

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ и пересекает её по прямой $M K$ . Проведём в плоскости $α$ через точку $K$ прямую, перпендикулярную $M K$ . Прямая, лежащая в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости, поэтому эта прямая перпендикулярна плоскости $A B B_{1}$ .

Но через точку $K$ проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости $A B B_{1}$ , — это $K C_{1}$ . Значит, построенная прямая совпадает с $K C_{1}$ , прямая $K C_{1}$ лежит в плоскости $α$ , и $C_{1} \in α$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M$ , $K$ , $C_{1}$ и пересекает грани $A B B_{1} A_{1}$ , $A_{1} B_{1} C_{1}$ и $A C C_{1} A_{1}$ по отрезкам $M K$ , $K C_{1}$ и $C_{1} M$ . Она отсекает от призмы вершину $A_{1}$ , поэтому сечение — треугольник $M K C_{1}$ .

Так как $C_{1} K ⊥ (A B B_{1})$ , то $C_{1} K ⊥ M K$ : треугольник $M K C_{1}$ прямоугольный с прямым углом $K$ , и

$S = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot C_{1} K .$

Все рёбра равны 12, поэтому $A_{1} K = K B_{1} = 6$ . Из $A M = 5 M A_{1}$ и $A A_{1} = 12$ получаем $M A_{1} = 2$ , $A M = 10$ .

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A_{1} M K$ ( $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ ):

$M K = A_{1} M^{2} + A_{1} K^{2} = 4 + 36 = 40 = 210 .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A_{1} K C_{1}$ :

$C_{1} K = A_{1} C_{1}^{2} - A_{1} K^{2} = 144 - 36 = 108 = 63 .$

Площадь сечения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 210 \cdot 63 = 630 .$

Ответ: б) $630$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15