ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Призма прямая, поэтому боковое ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, $A_{1}C$ — наклонная к этой плоскости, а $AC$ — её проекция.

Диагонали ромба перпендикулярны: $AC\perp BD$. Прямая $BD$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $AC$ наклонной $A_{1}C$. По теореме о трёх перпендикулярах $BD\perp A_{1}C$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $A{A}_1=AB=x$, $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому $BO=OD=1$.

В прямоугольном треугольнике $A_{1}AC$ ($A{A}_1\perp AC$) по теореме Пифагора

$$A{C}^2=A_1{C}^2-A{A}_1^2=4-x^2,AO=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}.$$

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $AOD$ прямоугольный, а $AD=AB=x$:

$$A{D}^2=A{O}^2+O{D}^2\Rightarrow x^2=\frac{4-x^2}{4}+1.$$

Умножим на 4:

$$4x^2=4-x^2+4\Rightarrow 5x^2=8\Rightarrow x=\sqrt{\frac{8}{5}}.$$

Тогда $AC=\sqrt{4-\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{12}{5}}\cdot 2=\sqrt{\frac{12}{5}}.$$

Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту $A{A}_1$:

$$V=S_{ABCD}\cdot A{A}_1=\sqrt{\frac{12}{5}}\cdot \sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{96}}{5}=\frac{4\sqrt{6}}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{4\sqrt{6}}{5}$.