В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 10, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2023 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна $10$ , а боковое ребро $S A$ равно $7$ . На рёбрах $A B$ и $S C$ отмечены точки $L$ и $N$ соответственно, причём $A L : L B = S N : N C = 1 : 4$ . Плоскость $α$ содержит прямую $L N$ и параллельна прямой $B C$ .

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A$ .

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $S B C$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Проведём в плоскости $S B C$ через точку $N$ прямую $N M ∥ B C$ , $M \in S B$ . Плоскость $α$ параллельна $B C$ и содержит точку $N$ , поэтому прямая, проходящая через $N$ параллельно $B C$ , лежит в $α$ . Значит, $N M \subset α$ и $M \in α$ .

Рисунок к решению

В треугольнике $S B C$ прямая $M N$ параллельна стороне $B C$ , по теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{S M}{M B} = \frac{S N}{N C} = \frac{1}{4} .$

В треугольнике $A S B$ точки $L$ и $M$ делят стороны $B A$ и $B S$ в одном отношении:

$\frac{B L}{L A} = \frac{4}{1} = \frac{B M}{M S} .$

По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $L M ∥ S A$ .

Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости $α$ , поэтому прямая $L M$ лежит в $α$ . Плоскость $α$ содержит прямую $L M$ , параллельную $S A$ , а сама прямая $S A$ в $α$ не лежит (иначе в $α$ лежала бы точка $S$ , а с ней прямые $S N$ и $S M$ , то есть точки $C$ и $B$ , и плоскость $α$ содержала бы прямую $B C$ , а не была бы ей параллельна). По признаку параллельности прямой и плоскости $α ∥ S A$ , что и требовалось доказать.

б) Достроим сечение. Через $L$ проведём в плоскости основания $L K ∥ B C$ , $K \in A C$ ; эта прямая тоже лежит в $α$ . Сечение пирамиды плоскостью $α$ — четырёхугольник $L K N M$ .

Сечение пирамиды плоскостью α

Плоскости $α$ и $S B C$ пересекаются по прямой $M N$ (точки $M$ и $N$ лежат в обеих плоскостях).

Пусть $D$ — середина $B C$ . В правильном треугольнике $A B C$ медиана $A D$ является высотой: $A D ⊥ B C$ . В равнобедренном треугольнике $S B C$ медиана $S D$ тоже высота: $S D ⊥ B C$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B C ⊥ (A S D)$ , а так как $M N ∥ B C$ , то и $M N ⊥ (A S D)$ .

Пусть $P = L K \cap A D$ , $T = M N \cap S D$ . Плоскость $A S D$ пересекает $α$ по прямой $P T$ , а плоскость $S B C$ — по прямой $T D$ . Обе эти прямые проходят через точку $T$ прямой $M N$ и перпендикулярны $M N$ , так как лежат в плоскости $A S D$ , перпендикулярной $M N$ . Значит, $∠ P T D$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $α$ и $S B C$ .

Рисунок к решению

Плоскость $A S D$ проходит через прямую $S A$ , параллельную плоскости $α$ , и пересекает $α$ по прямой $P T$ . Поэтому $P T ∥ S A$ , и $∠ P T D = ∠ A S D$ как соответственные углы при параллельных прямых $P T$ и $S A$ и секущей $S D$ . Осталось найти угол $A S D$ .

Высота правильного треугольника со стороной 10:

$A D = \frac{10 3}{2} = 53 .$

В прямоугольном треугольнике $S D C$ катет $D C = 5$ , гипотенуза $S C = 7$ :

$S D = S C^{2} - D C^{2} = 49 - 25 = 26 .$

По теореме косинусов в треугольнике $A S D$ :

$A D^{2} = A S^{2} + S D^{2} - 2 \cdot A S \cdot S D \cdot cos ∠ A S D,$

$75 = 49 + 24 - 2 \cdot 7 \cdot 26 \cdot cos ∠ A S D \Rightarrow 286 cos ∠ A S D = - 2 \Rightarrow cos ∠ A S D = - \frac{1}{14 6} .$

Косинус отрицателен, значит, угол $A S D$ тупой. Угол между плоскостями по определению не больше $9 0^{\circ}$ , поэтому он равен смежному углу $φ = 18 0^{\circ} - ∠ A S D$ , косинус которого отличается только знаком:

$cos φ = \frac{1}{14 6} .$

Ответ: б) $arccos \frac{1}{14 6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15