ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $AD=BC=7$.

Проверим треугольник $SAD$:

$$S{A}^2+A{D}^2=51+49=100=S{D}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $SAD$ прямоугольный с прямым углом $A$, то есть $SA\perp AD$.

Проверим треугольник $SAB$:

$$S{A}^2+A{B}^2=51+576=627=S{B}^2.$$

Значит, и он прямоугольный с прямым углом $A$: $SA\perp AB$.

Прямая $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AB$ плоскости основания. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $SA\perp (ABC)$, то есть $SA$ — высота пирамиды, что и требовалось доказать.

б) Прямые $SC$ и $BD$ скрещиваются. Чтобы найти угол между ними, заменим одну из прямых параллельной, пересекающей другую.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $AO=OC$ и $BO=OD$. Пусть $F$ — середина ребра $SA$. Тогда $FO$ — средняя линия треугольника $ASC$: $FO\parallel SC$ и $FO=\frac{1}{2}SC$.

Угол между скрещивающимися прямыми $SC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $FO$ и $BD$. Найдём угол $FOD=\alpha$ из треугольника $FOD$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABD$:

$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25,OD=\frac{25}{2}.$$

Диагональ $AC=BD=25$. Так как $SA\perp (ABC)$, треугольник $SAC$ прямоугольный с прямым углом $A$:

$$SC=\sqrt{A{C}^2+S{A}^2}=\sqrt{625+51}=\sqrt{676}=26,FO=\frac{1}{2}SC=13.$$

Треугольник $FAD$ прямоугольный ($SA\perp AD$), $AF=\frac{\sqrt{51}}{2}$:

$$F{D}^2=A{D}^2+A{F}^2=49+\frac{51}{4}=\frac{247}{4}.$$

По теореме косинусов в треугольнике $FOD$:

$$F{D}^2=O{D}^2+O{F}^2-2\cdot OD\cdot OF\cdot \cos \alpha ,$$

$$\frac{247}{4}=\frac{625}{4}+169-2\cdot \frac{25}{2}\cdot 13\cdot \cos \alpha .$$

Умножим на 4:

$$247=625+676-1300\cos \alpha \Rightarrow 1300\cos \alpha =1054\Rightarrow \cos \alpha =\frac{527}{650}.$$

Косинус положителен, значит, угол $FOD$ острый и он сам является углом между прямыми: $\alpha =\arccos \frac{527}{650}$.

Проверим результат координатами. Поместим начало в точку $A$, ось $Ox$ направим по $AD$, ось $Oy$ — по $AB$, ось $Oz$ — по $AS$.

Тогда $D(7;0;0)$, $B(0;24;0)$, $C(7;24;0)$, $S(0;0;\sqrt{51})$ и

$$\overrightarrow{BD}=(7;-24;0),\overrightarrow{SC}=(7;24;-\sqrt{51}).$$

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{SC}|}{|\overrightarrow{BD}|\cdot |\overrightarrow{SC}|}=\frac{|49-576+0|}{\sqrt{49+576}\cdot \sqrt{49+576+51}}=\frac{527}{25\cdot 26}=\frac{527}{650}.$$

Ответ совпал.

Ответ: б) $\arccos \frac{527}{650}$.