В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ стороны основания $A B C$ равны 12, а боковые рёбра равны 25. На рёбрах $A B,$ $A C$ и $S A$ отмечены точки $F, E$ и $K$ соответственно. Известно, что $A E = A F = 10,$ $A K = 15.$

a) Докажите, что объём пирамиды $K A E F$ составляет $\frac{5}{12}$ от объёма пирамиды $S A B C .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $(K E F) .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Треугольники $A E F$ и $A C B$ подобны: угол $A$ общий и $\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ . Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$\frac{S _{A E F}}{S _{A B C}} = (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36} .$

Пусть $S O$ — высота пирамиды, $O$ — центр основания. Опустим из $K$ перпендикуляр $K K_{1}$ на плоскость основания. Прямые $K K_{1}$ и $S O$ перпендикулярны одной плоскости, значит, параллельны, и $K K_{1}$ лежит в плоскости $A S O$ , а точка $K_{1}$ — на отрезке $A O$ .

Треугольники $A K K_{1}$ и $A S O$ подобны: угол $A$ общий, углы при $K_{1}$ и $O$ прямые. Поэтому

$\frac{K K _{1}}{S O} = \frac{A K}{A S} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} .$

У пирамиды $K A E F$ основание $A E F$ и высота $K K_{1}$ , у пирамиды $S A B C$ — основание $A B C$ и высота $S O$ :

$\frac{V _{K A E F}}{V _{S A B C}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S _{A E F} \cdot K K _{1}}{\frac{1}{3} \cdot S _{A B C} \cdot S O} = \frac{25}{36} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{12} .$

Что и требовалось доказать.

б) Плоскость $K E F$ пересекает рёбра $S A$ , $A C$ , $A B$ в точках $K$ , $E$ , $F$ и отсекает от пирамиды вершину $A$ , поэтому сечение — треугольник $K E F$ .

Треугольник $A S C$ равнобедренный ( $S A = S C = 25$ ), его высота из $S$ падает в середину $A C$ . Из получившегося прямоугольного треугольника

$cos ∠ S A C = \frac{A C /2}{A S} = \frac{6}{25} .$

По теореме косинусов в треугольнике $A K E$ :

$K E^{2} = A K^{2} + A E^{2} - 2 \cdot A K \cdot A E \cdot cos ∠ S A C = 225 + 100 - 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot \frac{6}{25} = 325 - 72 = 253.$

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, поэтому $∠ K A F = ∠ K A E$ . Треугольники $K A F$ и $K A E$ равны по двум сторонам ( $A F = A E$ , $A K$ — общая) и углу между ними, значит, $K F = K E = 253$ .

Треугольник $A E F$ равнобедренный с углом $6 0^{\circ}$ при вершине $A$ (угол правильного треугольника), значит, он равносторонний: $E F = 10$ .

Пусть $P$ — середина $E F$ . В равнобедренном треугольнике $K E F$ медиана $K P$ является высотой, и по теореме Пифагора

$K P = K E^{2} - E P^{2} = 253 - 25 = 228 = 257 .$

Площадь сечения:

$S_{K E F} = \frac{1}{2} \cdot E F \cdot K P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 257 = 1057 .$

Ответ: б) $1057$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15