В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки A и B. На… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Цилиндры средняя 2018 развёрнутое

В цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки $A$ и $B .$ На окружности верхнего основания отмечены точки $B_{1}$ и $C_{1}$ так, что $B B_{1}$ является образующей цилиндра, перпендикулярной основаниям, а $A C_{1}$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что прямые $A B$ и $B_{1} C_{1}$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $A C_{1}$ и $B B_{1},$ если $A B = 12,$ $B_{1} C_{1} = 9,$ $B B_{1} = 8.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ и $O_{1}$ — центры оснований, $O O_{1}$ — ось цилиндра. Проведём образующую $C_{1} C$ , где $C$ — точка окружности нижнего основания; $C C_{1} ∥ O O_{1}$ .

Прямые $A C_{1}$ и $O O_{1}$ пересекаются, поэтому лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит ось и точку $C_{1}$ , а значит, и параллельную оси прямую $C C_{1}$ . Следовательно, это осевое сечение цилиндра, и оно пересекает нижнее основание по диаметру. Точки $A$ и $C$ лежат на этом диаметре и на окружности, причём различны (иначе $A C_{1}$ была бы образующей и не пересекала бы ось). Значит, $A C$ — диаметр нижнего основания.

Образующие $B B_{1}$ и $C C_{1}$ параллельны и равны, поэтому $B B_{1} C_{1} C$ — параллелограмм (даже прямоугольник) и $B_{1} C_{1} ∥ B C$ .

Угол между скрещивающимися прямыми $A B$ и $B_{1} C_{1}$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $A B$ и $B C$ (прямая $B C$ параллельна $B_{1} C_{1}$ ), то есть углу $A B C$ . Этот угол вписанный и опирается на диаметр $A C$ , поэтому $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ . Значит, $A B ⊥ B_{1} C_{1}$ , что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим плоскость осевого сечения $A C C_{1}$ . Прямая $B B_{1}$ параллельна прямой $C C_{1}$ этой плоскости и не лежит в ней (точка $B$ не лежит на диаметре $A C$ ). По признаку параллельности прямой и плоскости $B B_{1} ∥ (A C C_{1})$ .

Прямая $A C_{1}$ лежит в плоскости $A C C_{1}$ , поэтому общих точек с $B B_{1}$ не имеет. Параллельными они тоже не являются: $A C_{1}$ пересекает прямую $C C_{1}$ , параллельную $B B_{1}$ . Значит, $A C_{1}$ и $B B_{1}$ — скрещивающиеся прямые, и расстояние между ними равно расстоянию от любой точки прямой $B B_{1}$ до плоскости $A C C_{1}$ , например от точки $B$ .

В плоскости нижнего основания проведём $B H ⊥ A C$ , $H \in A C$ . Образующая $C C_{1}$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $C C_{1} ⊥ B H$ . Прямая $B H$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A C$ и $C C_{1}$ плоскости $A C C_{1}$ , значит, $B H ⊥ (A C C_{1})$ , и $B H$ — искомое расстояние.

Из параллелограмма $B B_{1} C_{1} C$ : $B C = B_{1} C_{1} = 9$ . В прямоугольном треугольнике $A B C$ по теореме Пифагора

$A C = A B^{2} + B C^{2} = 1 2^{2} + 9^{2} = 225 = 15.$

$B H$ — высота, проведённая к гипотенузе. Запишем площадь треугольника $A B C$ двумя способами:

$\frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B H \Rightarrow B H = \frac{A B \cdot B C}{A C} = \frac{12 \cdot 9}{15} = 7, 2.$

Длина образующей $B B_{1} = 8$ для ответа не понадобилась: расстояние от прямой $B B_{1}$ до плоскости осевого сечения от высоты цилиндра не зависит.

Ответ: б) $7, 2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — цилиндры

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15