В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 8, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $A B$ и $S B$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 2$ , $S K = 1$ .

а) Докажите, что плоскость $C K M$ перпендикулярна плоскости $A B C$ .

б) Найдите объём пирамиды $B C K M$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Пирамида BCKM, KH — перпендикуляр к основанию

а) Пусть $O$ — центр квадрата $A B C D$ , то есть точка пересечения его диагоналей. В правильной пирамиде высота проходит через центр основания, поэтому $S O ⊥ (A B C)$ .

Точка $K$ лежит на ребре $S B$ , то есть в плоскости $S B D$ . Проведём в этой плоскости $K H ∥ S O$ , $H \in B D$ . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая ей перпендикулярна, поэтому $K H ⊥ (A B C)$ : $H$ — проекция точки $K$ на основание.

Так как $S K = 1$ и $S B = S A = 7$ , то $B K = 6$ . В треугольнике $S B O$ прямая $K H$ параллельна $S O$ , поэтому треугольники $B K H$ и $B S O$ подобны и

$\frac{B H}{B O} = \frac{B K}{B S} = \frac{6}{7} .$

Диагональ квадрата $B D = 82$ , значит, $B O = 42$ и $B H = \frac{6}{7} \cdot 42 = \frac{24 2}{7}$ .

Теперь найдём, где отрезок $C M$ пересекает диагональ $B D$ . Пусть это точка $H^{'}$ . Так как $A M = 2$ , то $B M = 8 - 2 = 6$ . Треугольники $B H^{'} M$ и $D H^{'} C$ подобны: углы при вершине $H^{'}$ вертикальные, а $∠ H^{'} B M = ∠ H^{'} D C$ как накрест лежащие при параллельных $A B$ и $C D$ . Поэтому

$\frac{B H ^{'}}{H ^{'} D} = \frac{B M}{D C} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \Rightarrow B H^{'} = \frac{3}{7} \cdot B D = \frac{3}{7} \cdot 82 = \frac{24 2}{7} .$

Точки $H$ и $H^{'}$ лежат на отрезке $B D$ на одном и том же расстоянии от $B$ , значит, они совпадают. Итак, $H$ лежит на прямой $C M$ , то есть в плоскости $C K M$ . Тогда прямая $K H$ целиком лежит в плоскости $C K M$ (две её точки $K$ и $H$ принадлежат этой плоскости).

Плоскость $C K M$ проходит через прямую $K H$ , перпендикулярную плоскости $A B C$ . По признаку перпендикулярности плоскостей $(C K M) ⊥ (A B C)$ , что и требовалось доказать.

б) В пирамиде $B C K M$ примем за основание треугольник $B C M$ , лежащий в плоскости $A B C$ . Так как $K H ⊥ (A B C)$ , высота пирамиды равна $K H$ .

Из прямоугольного треугольника $S O B$ по теореме Пифагора

$S O = S B^{2} - O B^{2} = 49 - 32 = 17 .$

Из подобия треугольников $B K H$ и $B S O$ :

$\frac{K H}{S O} = \frac{B K}{B S} = \frac{6}{7} \Rightarrow K H = \frac{6 17}{7} .$

Треугольник $B C M$ прямоугольный с прямым углом $B$ (угол квадрата), его катеты $B M = 6$ и $B C = 8$ :

$S_{B C M} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24.$

Объём пирамиды:

$V_{B C K M} = \frac{1}{3} \cdot S_{B C M} \cdot K H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{6 17}{7} = \frac{48 17}{7} .$

Ответ: б) $\frac{48 17}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15