ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Так как $KLMN$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны: $KN\parallel LM$, $KL\parallel MN$, соседние стороны перпендикулярны: $KL\perp KN$, и все стороны равны 3.

Докажем, что $KN\parallel AB$. Точки $L$ и $M$ лежат на рёбрах $AD$ и $BD$, поэтому прямая $LM$ лежит в плоскости $ABD$. Прямая $KN$ параллельна $LM$ и не лежит в плоскости $ABD$: точка $K$ лежит на ребре $AC$ и отлична от $A$, значит, плоскости $ABD$ не принадлежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $KN\parallel (ABD)$.

Плоскость $ABC$ проходит через прямую $KN$ (так как $K\in AC$, $N\in BC$) и пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AB$. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Поэтому $KN\parallel AB$, а значит, и $LM\parallel AB$.

Точно так же докажем, что $KL\parallel CD$. Прямая $MN$ лежит в плоскости $BCD$, прямая $KL$ параллельна $MN$ и не лежит в этой плоскости, поэтому $KL\parallel (BCD)$. Плоскость $ACD$ содержит $KL$ и пересекает плоскость $BCD$ по прямой $CD$, следовательно, $KL\parallel CD$.

В треугольнике $ACD$ прямая $KL$ параллельна стороне $CD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{AL}{LD}=\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7}.$$

В треугольнике $ABD$ прямая $LM$ параллельна стороне $AB$, поэтому по той же теореме

$$\frac{BM}{MD}=\frac{AL}{LD}=\frac{3}{7}.$$

Значит, $BM:MD=3:7$, что и требовалось доказать.

б) Сначала найдём угол между прямыми $AB$ и $CD$. В пункте а) доказано, что $KN\parallel AB$ и $KL\parallel CD$. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, им параллельными, то есть углу $NKL$. Он прямой, так как $KLMN$ — квадрат. Итак, $AB\perp CD$.

Выразим объём тетраэдра через рёбра $AB$, $CD$ и расстояние между ними. В плоскости $ABD$ проведём $DH\perp AB$, $H$ — точка прямой $AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $CD$ плоскости $CDH$, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp (CDH)$.

Плоскость $CDH$ разрезает тетраэдр на тетраэдры $ACDH$ и $BCDH$ с общим основанием $CDH$. Так как $AB\perp (CDH)$, их высоты — отрезки $AH$ и $BH$. Если точка $H$ лежит на отрезке $AB$, то

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot AH\cdot S_{CDH}+\frac{1}{3}\cdot BH\cdot S_{CDH}=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot S_{CDH}.$$

Если $H$ лежит вне отрезка $AB$, объём тетраэдра равен разности объёмов этих тетраэдров, а $|AH-BH|=AB$, так что формула та же.

В треугольнике $CDH$ проведём высоту $HS$ к прямой $CD$. Тогда $S_{CDH}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot HS$ и

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot \frac{1}{2}\cdot CD\cdot HS=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot CD\cdot HS.$$

Заметим, что $HS\perp CD$ по построению, а $HS\perp AB$, потому что $HS$ лежит в плоскости $CDH$, перпендикулярной $AB$. Значит, $HS$ — общий перпендикуляр прямых $AB$ и $CD$.

Найдём длины рёбер. Треугольники $AKL$ и $ACD$ подобны: угол $A$ общий, а $KL\parallel CD$. Поэтому

$$\frac{KL}{CD}=\frac{AK}{AC}=\frac{3}{10}\Rightarrow CD=\frac{10}{3}\cdot 3=10.$$

Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны: угол $C$ общий, а $KN\parallel AB$. Поэтому

$$\frac{KN}{AB}=\frac{CK}{CA}=\frac{7}{10}\Rightarrow AB=\frac{10}{7}\cdot 3=\frac{30}{7}.$$

Подставим в формулу объёма:

$$50=\frac{1}{6}\cdot \frac{30}{7}\cdot 10\cdot HS=\frac{50}{7}\cdot HS\Rightarrow HS=7.$$

Теперь найдём расстояние от $C$ до плоскости $KLM$. Прямая $HS$ перпендикулярна $KN$ (так как $HS\perp AB$ и $AB\parallel KN$) и перпендикулярна $KL$ (так как $HS\perp CD$ и $CD\parallel KL$). Прямые $KN$ и $KL$ пересекаются и лежат в плоскости $KLM$, поэтому $HS\perp (KLM)$.

Прямая $AB$ параллельна плоскости $KLM$ (она параллельна прямой $KN$ этой плоскости), поэтому все её точки удалены от плоскости одинаково: расстояние от $H$ равно расстоянию от $A$. Аналогично $CD\parallel KL$, и расстояние от $S$ до плоскости равно расстоянию от $C$. Обозначим эти расстояния $d_A$ и $d_C$.

Отрезок $AC$ пересекает плоскость $KLM$ во внутренней точке $K$, поэтому точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от неё. Значит, и вся прямая $AB$ (вместе с $H$) лежит по одну сторону, а вся прямая $CD$ (вместе с $S$) — по другую. Отрезок $HS$ перпендикулярен плоскости и пересекает её в некоторой точке $O$, причём $HO=d_A$, $OS=d_C$. Следовательно,

$$d_A+d_C=HS=7.$$

Опустим из $A$ и $C$ перпендикуляры $A{A}^{\prime }$ и $C{C}^{\prime }$ на плоскость $KLM$. Прямоугольные треугольники $A{A}^{\prime }K$ и $C{C}^{\prime }K$ подобны (углы при вершине $K$ вертикальные), поэтому

$$\frac{d_A}{d_C}=\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7}.$$

Значит, $d_C=\frac{7}{10}\cdot HS=\frac{7}{10}\cdot 7=4,9$.

Ответ: б) $4,9$.