ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — конусы

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр окружности основания, тогда $OA=OB=6$. Точки $A$ и $B$ делят окружность на дуги в отношении $1:3$, поэтому меньшая дуга $AB$ составляет $\frac{1}{4}$ окружности, и центральный угол

$$\angle AOB=\frac{1}{4}\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOB$:

$$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=6\sqrt{2}=\sqrt{72}<\sqrt{81}=9.$$

Треугольник $APB$ равнобедренный: $PA=PB=9$ как образующие конуса. Значит, $\angle PAB=\angle PBA$. Против меньшей стороны лежит меньший угол: так как $AB<PB$, то $\angle APB<\angle PAB=\angle PBA$. Тогда

$$3\angle APB<\angle APB+\angle PAB+\angle PBA=180^{\circ }\Rightarrow \angle APB<60^{\circ },$$

что и требовалось доказать.

б) Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду $AB$ основания, пересекает конус по треугольнику $ABP$, стороны $PA$ и $PB$ которого — образующие.

Пусть $M$ — середина $AB$, тогда $AM=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$. В равнобедренном треугольнике $ABP$ медиана $PM$ является высотой. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $APM$:

$$PM=\sqrt{A{P}^2-A{M}^2}=\sqrt{81-18}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}.$$

Площадь сечения:

$$S_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot PM=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{7}=9\sqrt{14}.$$

Ответ: б) $9\sqrt{14}$.