ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ — середина гипотенузы $AB$, поэтому медиана $CO$ равна половине гипотенузы:

$$OC=OA=OB=\frac{AB}{2}.$$

Так как $SO\perp (ABC)$, то $SO\perp OA$ и $SO\perp OC$, то есть треугольники $SOA$ и $SOC$ прямоугольные. У них общий катет $SO$ и равные катеты $OA=OC$, значит, они равны по двум катетам, и их гипотенузы равны: $SA=SC$, что и требовалось доказать.

б) Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями $SAC$ и $ABC$. Они пересекаются по прямой $AC$.

Пусть $H$ — середина $AC$. Тогда $OH$ — средняя линия треугольника $ABC$: $OH\parallel BC$ и $OH=\frac{1}{2}BC$. Так как $BC\perp AC$, то и $OH\perp AC$.

Отрезок $SO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $SH$ — наклонная, $OH$ — её проекция. Так как $OH\perp AC$, по теореме о трёх перпендикулярах $SH\perp AC$.

Итак, $SH\subset (SAC)$, $OH\subset (ABC)$, обе прямые перпендикулярны линии пересечения $AC$ в точке $H$. Значит, $\angle SHO$ — линейный угол двугранного угла. Он острый, так как это угол прямоугольного треугольника $SOH$ ($\angle SOH=90^{\circ }$), поэтому он и равен углу между плоскостями.

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{400-256}=12,OH=\frac{1}{2}BC=6.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $SOA$, где $OA=\frac{AB}{2}=10$:

$$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{676-100}=24.$$

В прямоугольном треугольнике $SOH$:

$$\mathrm{tg}\angle SHO=\frac{SO}{OH}=\frac{24}{6}=4\Rightarrow \angle SHO=\mathrm{arctg}4.$$

Ответ: б) $\mathrm{arctg}4$.