ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — параллелепипеды

Разбор — 3 балла

а) Диагонали граней единичного куба равны $\sqrt{2}$, поэтому $A_1{C}_1=B_{1}C=\sqrt{2}$, а по условию $C_{1}M=A_1{C}_1=\sqrt{2}$ и $CN=B_{1}C=\sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $A_1{B}_{1}M$. В нём $A_1{B}_1=1$, $A_{1}M=2A_1{C}_1=2\sqrt{2}$, а угол $B_1{A}_{1}M$ — это угол между стороной и диагональю квадрата $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, то есть $45^{\circ }$. По теореме косинусов

$$B_1{M}^2=A_1{B}_1^2+A_1{M}^2-2\cdot A_1{B}_1\cdot A_{1}M\cdot \cos 45^{\circ }=1+8-2\cdot 1\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=5,$$

значит, $B_{1}M=\sqrt{5}$.

Ребро $C{C}_1$ перпендикулярно плоскости верхней грани, в которой лежит $C_{1}M$, поэтому треугольник $C{C}_{1}M$ прямоугольный, и

$$CM=\sqrt{C{C}_1^2+C_1{M}^2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}.$$

В треугольнике $B_{1}CM$ стороны равны $B_{1}C=\sqrt{2}$, $CM=\sqrt{3}$, $B_{1}M=\sqrt{5}$, и

$$B_1{C}^2+C{M}^2=2+3=5=B_1{M}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle B_{1}CM=90^{\circ }$, то есть $MC\perp B_{1}N$.

Рассмотрим треугольник $B_{1}MN$. Точка $C$ — середина $B_{1}N$, поэтому $MC$ — его медиана, и она же высота. Треугольник, в котором медиана совпадает с высотой, равнобедренный: $MN=M{B}_1$, что и требовалось доказать.

б) Будем проецировать на плоскость грани $C{C}_1{D}_{1}D$. Ребро $B_1{C}_1$ перпендикулярно этой плоскости ($B_1{C}_1\perp C_1{D}_1$ и $B_1{C}_1\perp C_{1}C$), поэтому прямая $B_1{C}_1$ проецируется в точку $C_1$.

Найдём проекцию точки $M$. Отметим на продолжении $D_1{C}_1$ за точку $C_1$ точку $M_1$ с $C_1{M}_1=C_1{D}_1=1$. В четырёхугольнике $A_1{D}_{1}M{M}_1$ диагонали $A_{1}M$ и $D_1{M}_1$ точкой $C_1$ делятся пополам, значит, это параллелограмм, и $M{M}_1\parallel A_1{D}_1$, $M{M}_1=1$. Так как $A_1{D}_1\perp (C{C}_1{D}_1)$, то и $M{M}_1\perp (C{C}_1{D}_1)$, то есть $M_1$ — проекция $M$.

Аналогично отметим на продолжении $C_{1}C$ за точку $C$ точку $N_1$ с $C{N}_1=C{C}_1=1$. В четырёхугольнике $B_1{C}_{1}N{N}_1$ диагонали $B_{1}N$ и $C_1{N}_1$ точкой $C$ делятся пополам, поэтому это параллелограмм, $N{N}_1\parallel B_1{C}_1$, $N{N}_1=1$, и $N_1$ — проекция $N$ на плоскость $C{C}_1{D}_1$.

Отрезки $M{M}_1$ и $N{N}_1$ параллельны и равны, поэтому точки $M$, $N$, $N_1$, $M_1$ лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит прямую $M{M}_1\parallel B_1{C}_1$, а прямая $B_1{C}_1$ в ней не лежит. Значит, $B_1{C}_1\parallel (MN{N}_1{M}_1)$, и расстояние между скрещивающимися прямыми $B_1{C}_1$ и $MN$ равно расстоянию от любой точки прямой $B_1{C}_1$, например от $C_1$, до плоскости $MN{N}_1{M}_1$.

Проведём в плоскости $C{C}_1{D}_1$ перпендикуляр $C_{1}R$ к прямой $M_1{N}_1$. Прямая $M{M}_1$ перпендикулярна плоскости $C{C}_1{D}_1$, поэтому $C_{1}R\perp M{M}_1$. Итак, $C_{1}R$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $M_1{N}_1$ и $M{M}_1$ плоскости $MN{N}_1{M}_1$, значит, по признаку перпендикулярности $C_{1}R\perp (MN{N}_1{M}_1)$, и $C_{1}R$ — искомое расстояние.

В треугольнике $M_1{C}_1{N}_1$ угол $C_1$ прямой (прямые $D_1{C}_1$ и $C{C}_1$ перпендикулярны), катеты $C_1{M}_1=1$ и $C_1{N}_1=C_{1}C+C{N}_1=2$. По теореме Пифагора

$$M_1{N}_1=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$$

$C_{1}R$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу:

$$C_{1}R=\frac{C_1{M}_1\cdot C_1{N}_1}{M_1{N}_1}=\frac{1\cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

Ответ: б) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.