В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 24, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 24, а боковое ребро $S A$ равно 21. На рёбрах $A B$ и $S B$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $A M = 6,$ $S K = 3.$ Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $(A B C)$ и содержит точки $M$ и $K .$

a) Докажите, что плоскость $α$ содержит точку $C .$

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $A M = 6$ , поэтому $M B = A B - A M = 18$ ; $S K = 3$ , поэтому $K B = S B - S K = 21 - 3 = 18$ .

Пусть $S H$ — высота пирамиды. Пирамида правильная, поэтому $H$ — центр квадрата $A B C D$ , то есть точка пересечения его диагоналей.

В плоскости $S B D$ проведём $K O ∥ S H$ , $O \in B D$ . Так как $S H ⊥ (A B C)$ , то и $K O ⊥ (A B C)$ . Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости $A B C$ и содержит точку $K$ , поэтому перпендикуляр $K O$ к плоскости $A B C$ , проведённый из точки $K$ , целиком лежит в $α$ . Значит, $O \in α$ , и плоскость $α$ пересекает основание по прямой $M O$ . Осталось доказать, что эта прямая проходит через $C$ .

По теореме о пропорциональных отрезках в угле $S B H$ (прямая $K O ∥ S H$ ):

$\frac{B O}{O H} = \frac{B K}{K S} = \frac{18}{3} = 6.$

Пусть $O H = y$ , тогда $B O = 6 y$ , $B H = 7 y$ , а так как $H$ — середина $B D$ , то $H D = B H = 7 y$ и

$O D = O H + H D = y + 7 y = 8 y .$

Значит,

$\frac{B O}{O D} = \frac{6 y}{8 y} = \frac{3}{4}, \frac{B M}{D C} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} .$

Рассмотрим треугольники $O B M$ и $O D C$ . Углы $O B M$ и $O D C$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $A B$ и $C D$ и секущей $B D$ , а прилежащие к ним стороны пропорциональны. Значит, треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, и

$∠ B O M = ∠ D O C .$

Точка $O$ лежит на отрезке $B D$ , поэтому углы $B O M$ и $M O D$ смежные: $∠ B O M + ∠ M O D = 18 0^{\circ}$ . Точки $M$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $B D$ , поэтому углы $M O D$ и $D O C$ прилегают к лучу $O D$ с разных сторон, и

$∠ M O D + ∠ D O C = ∠ M O D + ∠ B O M = 18 0^{\circ} .$

Значит, лучи $O M$ и $O C$ образуют развёрнутый угол, то есть точки $M$ , $O$ , $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, $C \in M O \subset α$ , что и требовалось доказать.

б) Плоскость $α$ проходит через точки $M \in A B$ , $K \in S B$ и вершину $C$ . Отрезки $M C$ , $M K$ и $K C$ лежат в гранях $A B C D$ , $S A B$ и $S B C$ , поэтому сечение — треугольник $M K C$ .

Так как $K O ⊥ (A B C)$ , то $K O ⊥ M C$ , и $K O$ — высота треугольника $M K C$ , проведённая к стороне $M C$ :

$S_{M K C} = \frac{1}{2} \cdot M C \cdot K O .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $M B C$ :

$M C = M B^{2} + B C^{2} = 1 8^{2} + 2 4^{2} = 324 + 576 = 30.$

Половина диагонали квадрата со стороной $24$ :

$A H = \frac{A C}{2} = \frac{24 2}{2} = 122 .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $S H A$ :

$S H = S A^{2} - A H^{2} = 441 - 288 = 153 = 317 .$

Треугольники $B K O$ и $B S H$ подобны (так как $K O ∥ S H$ ), поэтому

$K O = \frac{B K}{B S} \cdot S H = \frac{18}{21} \cdot 317 = \frac{18 17}{7} .$

Тогда

$S_{M K C} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{18 17}{7} = \frac{270 17}{7} .$

Ответ: б) $\frac{270 17}{7}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15