ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Разбор — 3 балла

а) Отрезки $A_{1}B$, $BM$ и $M{A}_1$ лежат в гранях призмы $AB{B}_1{A}_1$, $BC{C}_1{B}_1$ и $A{A}_1{C}_{1}C$ соответственно, поэтому сечение призмы плоскостью $\alpha$ — треугольник $A_{1}BM$.

Призма правильная, значит, она прямая: ребро $C{C}_1$ перпендикулярно плоскостям оснований. Поэтому треугольники $A_1{C}_{1}M$ и $BCM$ прямоугольные с прямыми углами $C_1$ и $C$.

В этих треугольниках $C_{1}M=CM$, так как $M$ — середина $C{C}_1$, и $A_1{C}_1=BC$ как стороны равных правильных треугольников в основаниях. Значит, треугольники равны по двум катетам, и их гипотенузы равны:

$$M{A}_1=MB.$$

Следовательно, сечение $A_{1}BM$ — равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Обозначим $CM=M{C}_1=x$, тогда высота призмы $A{A}_1=C{C}_1=2x$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCM$:

$$MB=\sqrt{B{C}^2+C{M}^2}=\sqrt{x^2+4},M{A}_1=MB=\sqrt{x^2+4}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $A_{1}AB$ ($\angle A=90^{\circ }$):

$$A_{1}B=\sqrt{A{B}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{4+4x^2}=2\sqrt{x^2+1}.$$

Проведём высоту $MH$ треугольника $A_{1}BM$. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой, поэтому $H$ — середина $A_{1}B$ и

$$HB=\frac{1}{2}{A}_{1}B=\sqrt{x^2+1}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $MHB$:

$$MH=\sqrt{M{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{x^2+4-\left(x^2+1\right)}=\sqrt{3}.$$

Площадь сечения по условию равна $6$:

$$S_{A_{1}BM}=\frac{1}{2}\cdot A_{1}B\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2+1}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3\left(x^2+1\right)}=6.$$

Возведём в квадрат (обе части неотрицательны):

$$3\left(x^2+1\right)=36\Rightarrow x^2+1=12\Rightarrow x^2=11\Rightarrow x=\sqrt{11}.$$

Высота призмы равна $2x=2\sqrt{11}$.

Ответ: б) $2\sqrt{11}$.