B правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 6, а… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2025 развёрнутое

B правильной четырёхугольной призме $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ сторона $A B$ основания равна 6, а боковое ребро $A A_{1}$ равно $26 .$ На рёбрах $B C$ и $C_{1} D_{1}$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $B K = C_{1} L = 1.$ Плоскость $γ$ параллельна прямой $B D$ и содержит точки $K$ и $L .$

a) Докажите, что прямая $A_{1} C$ перпендикулярна плоскости $γ .$

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_{1},$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $γ .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Построим сечение. Плоскость $γ$ параллельна $B D$ , а плоскость нижнего основания содержит $B D$ , поэтому они пересекаются по прямой, параллельной $B D$ . Проведём $K M ∥ B D$ , $M \in C D$ . Верхнее основание содержит прямую $B_{1} D_{1} ∥ B D$ , поэтому пересекает $γ$ по прямой, параллельной $B_{1} D_{1}$ : проведём $L P ∥ B_{1} D_{1}$ , $P \in B_{1} C_{1}$ . Прямые $K M$ и $L P$ параллельны, значит, лежат в одной плоскости — это $γ$ . Сечение — трапеция $K M L P$ .

Треугольники $C K M$ и $C B D$ подобны, поэтому $C M = C K = 6 - 1 = 5$ ; треугольники $C_{1} L P$ и $C_{1} D_{1} B_{1}$ подобны, поэтому $C_{1} P = C_{1} L = 1$ .

Пусть $E = A C \cap K M$ , $F = A_{1} C_{1} \cap L P$ , $H = A_{1} C \cap E F$ .

Диагонали квадрата перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ , а значит, $A C ⊥ K M$ . Ребро $A A_{1}$ перпендикулярно основанию, поэтому $A C$ — проекция наклонной $A_{1} C$ на плоскость $A B C D$ . По теореме о трёх перпендикулярах

$A_{1} C ⊥ K M .$

Теперь докажем, что $A_{1} C ⊥ E F$ . Все точки $A$ , $C$ , $A_{1}$ , $C_{1}$ , $E$ , $F$ лежат в прямоугольнике $A A_{1} C_{1} C$ . Диагональ квадрата

$A C = A_{1} C_{1} = 62 .$

Треугольник $C K M$ — равнобедренный прямоугольный с катетами $5$ , диагональ $A C$ — его ось симметрии, поэтому $E$ — середина гипотенузы $K M$ , и

$C E = \frac{C K}{2} = \frac{5 2}{2}, A E = A C - C E = 62 - \frac{5 2}{2} = \frac{7 2}{2} .$

Аналогично в треугольнике $C_{1} L P$ с катетами $1$ :

$C_{1} F = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}, A_{1} F = 62 - \frac{2}{2} = \frac{11 2}{2} .$

Из прямоугольного треугольника $A_{1} A C$

$tg ∠ A_{1} C A = \frac{A A _{1}}{A C} = \frac{2 6}{6 2} = \frac{1}{3}, ∠ A_{1} C A = 3 0^{\circ} .$

Опустим перпендикуляр $F T$ на $A C$ . Тогда $F T C C_{1}$ — прямоугольник, $F T = C C_{1} = 26$ , $T C = F C_{1} = \frac{2}{2}$ , и

$E T = E C - T C = \frac{5 2}{2} - \frac{2}{2} = 22 .$

Из прямоугольного треугольника $F T E$

$tg ∠ F E C = \frac{F T}{E T} = \frac{2 6}{2 2} = 3, ∠ F E C = 6 0^{\circ} .$

В треугольнике $E H C$ сумма углов при вершинах $E$ и $C$ равна $6 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , значит, $∠ E H C = 9 0^{\circ}$ и

$A_{1} C ⊥ E F .$

Прямая $A_{1} C$ перпендикулярна пересекающимся прямым $K M$ и $E F$ плоскости $γ$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A_{1} C ⊥ γ$ , что и требовалось доказать.

б) Так как $A_{1} C ⊥ γ$ и $H = A_{1} C \cap γ$ , отрезок $A_{1} H$ — высота пирамиды $A_{1} K M L P$ .

По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1} A C$

$A_{1} C = A A_{1}^{2} + A C^{2} = 24 + 72 = 96 = 46 .$

Так как $A_{1} C_{1} ∥ A C$ , треугольники $A_{1} H F$ и $C H E$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы и вертикальные углы при вершине $H$ ):

$\frac{A _{1} H}{H C} = \frac{A _{1} F}{C E} = \frac{11 2 /2}{5 2 /2} = \frac{11}{5} .$

Значит,

$A_{1} H = \frac{11}{16} A_{1} C = \frac{11}{16} \cdot 46 = \frac{11 6}{4} .$

Найдём площадь сечения. Проекция отрезка $E F$ на основание — отрезок $E T$ , лежащий на $A C$ , а $A C ⊥ K M$ . По теореме о трёх перпендикулярах $E F ⊥ K M$ , и так как $L P ∥ K M$ , то и $E F ⊥ L P$ . Значит, $E F$ — высота трапеции $K M L P$ . Из прямоугольного треугольника $F T E$

$E F = F T^{2} + E T^{2} = 24 + 8 = 42 .$

Основания трапеции — гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников:

$K M = C K 2 = 52, L P = C_{1} L 2 = 2 .$

Площадь трапеции:

$S_{K M L P} = \frac{K M + L P}{2} \cdot E F = \frac{5 2 + 2}{2} \cdot 42 = 32 \cdot 42 = 24.$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{K M L P} \cdot A_{1} H = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{11 6}{4} = 226 .$

Ответ: б) $226$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15