ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Так как $KLMN$ — квадрат, то $KN\parallel LM$, $KL\parallel NM$ и $KL\perp KN$.

Докажем, что $KN\parallel AB$. Отрезок $KN$ лежит в плоскости $ABC$ (точки $K\in AC$, $N\in BC$), а отрезок $LM$ — в плоскости $ABD$ (точки $L\in AD$, $M\in BD$). Прямая $KN$ не лежит в плоскости $ABD$: иначе точка $K$ прямой $AC$ лежала бы в $ABD$ и совпала бы с $A$. Так как $KN\parallel LM$, по признаку параллельности прямой и плоскости $KN\parallel (ABD)$. Плоскость $ABC$ проходит через $KN$ и пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AB$, поэтому

$$KN\parallel AB.$$

Точно так же: $KL$ лежит в плоскости $ACD$, $NM$ — в плоскости $BCD$, $KL\parallel NM$, значит, $KL\parallel (BCD)$. Плоскость $ACD$ проходит через $KL$ и пересекает $BCD$ по прямой $CD$, поэтому

$$KL\parallel CD.$$

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми $KN$ и $KL$, то есть $90^{\circ }$. Значит, $AB\perp CD$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $h$ — искомое расстояние от $B$ до плоскости $KLM$. Плоскость $KLM$ содержит треугольник $LMN$, поэтому $h$ — высота пирамиды $LMNB$, опущенная из вершины $B$ на грань $LMN$:

$$V_{LMNB}=\frac{1}{3}\cdot S_{△LMN}\cdot h,S_{△LMN}=\frac{1}{2}{S}_{KLMN}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}.$$

Остаётся найти объём $V_{LMNB}$, сравнив его с объёмом тетраэдра. Найдём, как точки $L$, $M$, $N$ делят рёбра. По теореме о пропорциональных отрезках:

• в треугольнике $ACD$ прямая $KL\parallel CD$, поэтому $AL:LD=AK:KC=3:7$;
• в треугольнике $ABC$ прямая $KN\parallel AB$, поэтому $BN:NC=AK:KC=3:7$;
• в треугольнике $ABD$ прямая $LM\parallel AB$, поэтому $BM:MD=AL:LD=3:7$.

Возьмём у пирамиды $LMNB$ основание $BMN$, лежащее в плоскости $BCD$, и вершину $L$. Треугольники $BMN$ и $BDC$ имеют общий угол $B$ и $\frac{BM}{BD}=\frac{BN}{BC}=\frac{3}{10}$, поэтому они подобны с коэффициентом $\frac{3}{10}$:

$$S_{△BMN}={\left(\frac{3}{10}\right)}^2{S}_{△BCD}=\frac{9}{100}{S}_{△BCD}.$$

Пусть $h_A$ — расстояние от $A$ до плоскости $BCD$, $h_L$ — расстояние от $L$ до этой плоскости. Перпендикуляры из $A$ и $L$ на плоскость $BCD$ параллельны и лежат в одной плоскости с прямой $AD$, поэтому из подобия прямоугольных треугольников

$$\frac{h_L}{h_A}=\frac{LD}{AD}=\frac{7}{10}.$$

Тогда

$$V_{LMNB}=\frac{1}{3}\cdot S_{△BMN}\cdot h_L=\frac{9}{100}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{1}{3}\cdot S_{△BCD}\cdot h_A=\frac{63}{1000}\cdot V_{ABCD}=\frac{63}{1000}\cdot 100=\frac{63}{10}.$$

Подставим в первую формулу объёма:

$$\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot h=\frac{63}{10}\Rightarrow \frac{3}{2}h=\frac{63}{10}\Rightarrow h=\frac{21}{5}=4,2.$$

Ответ: б) $4,2$.