В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB равна 12, а боковое… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2016 развёрнутое

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ сторона основания $A B$ равна 12, а боковое ребро $A A_{1}$ равно 6. На ребре $B_{1} C_{1}$ отмечена точка $L$ так, что $B_{1} L = 2.$ Точки $K,$ $M$ — середины ребер $A B$ и $A_{1} C_{1}$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямой $A C$ и содержит точки $K$ и $L .$

а) Докажите, что прямая $B M$ перпендикулярна плоскости $α .$

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка $M,$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $α .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сначала построим сечение призмы плоскостью $α$ .

Плоскость $α$ параллельна прямой $A C$ . Плоскость нижнего основания проходит через $A C$ , поэтому пересекает $α$ по прямой, параллельной $A C$ . Проведём через $K$ прямую $K N ∥ A C$ , $N \in B C$ . Так как $K$ — середина $A B$ , по теореме Фалеса $N$ — середина $B C$ , а $K N$ — средняя линия треугольника $A B C$ :

$K N = \frac{1}{2} A C = 6.$

Плоскость верхнего основания проходит через прямую $A_{1} C_{1} ∥ A C$ , поэтому тоже пересекает $α$ по прямой, параллельной $A C$ . Проведём через $L$ прямую $L P ∥ A_{1} C_{1}$ , $P \in A_{1} B_{1}$ . Треугольник $B_{1} L P$ подобен правильному треугольнику $B_{1} C_{1} A_{1}$ , поэтому он правильный со стороной

$L P = B_{1} P = B_{1} L = 2.$

Прямые $K N$ и $L P$ параллельны (обе параллельны $A C$ ), значит, они лежат в одной плоскости — это и есть $α$ . Сечение — трапеция $K N L P$ с основаниями $K N = 6$ и $L P = 2$ .

Чтобы доказать, что $B M ⊥ α$ , достаточно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости показать, что $B M$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $α$ .

Пусть $H$ — середина $A C$ . Отрезок $M H$ соединяет середины противоположных сторон прямоугольника $A A_{1} C_{1} C$ , поэтому $M H ∥ A A_{1}$ , $M H = A A_{1} = 6$ и $M H ⊥ (A B C)$ . Значит, $B H$ — проекция наклонной $B M$ на плоскость основания.

В правильном треугольнике $A B C$ медиана $B H$ является высотой: $B H ⊥ A C$ , а значит, $B H ⊥ K N$ . По теореме о трёх перпендикулярах

$B M ⊥ K N .$

Найдём вторую прямую. Пусть $T$ — середина $K N$ , $Z$ — середина $L P$ . Медиана $B H$ делит пополам любой отрезок, параллельный $A C$ , с концами на $A B$ и $B C$ , поэтому $T \in B H$ . Аналогично медиана $B_{1} M$ треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ проходит через середину $Z$ отрезка $L P$ . Отрезок $Z T$ лежит в плоскости $α$ и в плоскости прямоугольника $B B_{1} M H$ , в которой лежит и $B M$ . Пусть $O$ — точка пересечения $B M$ и $Z T$ . Докажем, что $B M ⊥ Z T$ .

Рассмотрим прямоугольник $B B_{1} M H$ . Высота правильного треугольника со стороной $12$ :

$B H = \frac{12 3}{2} = 63, B T = \frac{1}{2} B H = 33,$

так как $K N$ — средняя линия. Высота правильного треугольника $B_{1} L P$ со стороной $2$ :

$B_{1} Z = \frac{2 3}{2} = 3 .$

Опустим перпендикуляр $Z Z^{'}$ на $B H$ . Тогда $B B_{1} Z Z^{'}$ — прямоугольник, $B Z^{'} = B_{1} Z = 3$ , $Z Z^{'} = B B_{1} = 6$ , и

$T Z^{'} = B T - B Z^{'} = 33 - 3 = 23 .$

Из прямоугольных треугольников $Z Z^{'} T$ и $M H B$ :

$tg ∠ Z T B = \frac{Z Z ^{'}}{T Z ^{'}} = \frac{6}{2 3} = 3, tg ∠ H M B = \frac{B H}{M H} = \frac{6 3}{6} = 3 .$

Углы острые и тангенсы равны, поэтому $∠ O T B = ∠ H M B$ . Треугольники $O T B$ и $H M B$ имеют общий угол $B$ , значит, они подобны по двум углам, и

$∠ T O B = ∠ M H B = 9 0^{\circ} .$

Итак, $B M ⊥ Z T$ . Прямая $B M$ перпендикулярна пересекающимся прямым $K N$ и $Z T$ плоскости $α$ , следовательно, $B M ⊥ α$ , что и требовалось доказать.

б) Так как $B M ⊥ α$ и $O = B M \cap α$ , отрезок $M O$ — высота пирамиды $M K N L P$ .

Из $tg ∠ O T B = 3$ получаем $∠ O T B = 6 0^{\circ}$ . В прямоугольном треугольнике $B O T$

$O B = B T \cdot sin 6 0^{\circ} = 33 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} .$

Из прямоугольного треугольника $B H M$ по теореме Пифагора

$B M = B H^{2} + M H^{2} = 108 + 36 = 12.$

Тогда

$M O = B M - O B = 12 - \frac{9}{2} = \frac{15}{2} .$

Найдём высоту трапеции. Проекция отрезка $Z T$ на плоскость основания — отрезок $Z^{'} T$ , лежащий на $B H$ , а $B H ⊥ K N$ . По теореме о трёх перпендикулярах $Z T ⊥ K N$ , и так как $L P ∥ K N$ , то $Z T ⊥ L P$ . Значит, $Z T$ — высота трапеции. Из прямоугольного треугольника $Z Z^{'} T$

$Z T = Z Z^{'2} + T Z^{'2} = 36 + 12 = 43 .$

Площадь трапеции:

$S_{K N L P} = \frac{K N + L P}{2} \cdot Z T = \frac{6 + 2}{2} \cdot 43 = 163 .$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{K N L P} \cdot M O = \frac{1}{3} \cdot 163 \cdot \frac{15}{2} = 403 .$

Ответ: б) $403$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15